Erst die Kür und dann die Pflicht.
Damit du mal siehst, wie schlau dass ich bin.
y = f ( x ) := 1/2 ( x + 3 / x ) ( 1a )
Mal ganz grundsätzlich gefragt: Was für ein Typ Funktion liegt in ( 1a ) vor? Wenn du jetzt antwortest
Gerade + Hyperbel ( 1b )
habe ich dich schon voll veraascht. In einem Portal, das inzwischen längst gehimmelt ist und wo ich sehr viel Mathe lernen durfte, wurde mal eine Extremwertaufgabe gestellt. Und wie ich so vor mich hin und her transformiere, wie es ja meine Art ist, denke ich so in einem Sinn, ist das Leben nicht wunderbar, wenn der Affe ohne seine Federn nachts durch den Wald fliegt? Aber jenseits aller Zweifel stellte es sich als richtig heraus:
Gerade + Hyperbel = Hyperbel ( 1c )
Der Beweis in ( 1a ) ist übrigens ganz einfach:
y = 1/2 ( x + 3 / x ) | * HN ( 1a )
2 x y - x ² = const = 3 ( 2 )
( 2 ) stellt eine ===> homogene quadratische Form ( HQF ) dar in den beiden Veränderlichen x und y . Und wie ihr wisst, ist eine HQF immer die Gleichung eines ===> Kegelschnitts, hier offensichtlich einer Hyperbel.
Das ganze Unternehmen guckt euch nur deshalb so komisch an, weil ihr bisher die gleichseitigen Hyperbeln gewohnt seid, deren Asymptoten aufeinander senkrecht stehen. Was man in ( 1a ) besonders schön erkennt: Die ( beiden Äste ) einer Hyperbel verlaufen Punkt symmetrisch gegen den Schnittpunkt der beiden Asymptoten.
Die eine Asymptote ist g1 ( x ) = x / 2 und die zweite x = 0 . Es handelt sich um eine gedrungene Hyperbel, deren Öffnungswinkel < 90 ° beträgt ( 90 ° - arctg ( 1/2 ) )
Gängig ist ja die Normalform ===> Hauptachsenform der ( liegenden ) Hyperbel
( y/a ) ² - ( x/b ) ² = 1 ( 3a )
Normalform bedeutet immer, dass du jedes Objekt der betreffenden Klasse ( z.B. Hyperbel ) in diese Form bringen kannst; bei ( 3a ) gelingt dies durch einfaches Drehen des Zeichenblattes.
Und von daher gesehen, habe ich eben eine zweite Normalform entdeckt, die Normalform des Habakuk. Ich habe nämlich gezedass auch die Umkehrung von ( 1a ) gilt; du musst nur das Zeichenblatt so drehen, dass eine Asymptote vertikal verläuft:
y = f ( x ) = a x + B / x ; b > 0 ( 3b )
Matematik macht immer noch am Meisten Spaß, wenn man etwas lernt, wonach gar nicht gefragt war.
Und jetzt zu Unterpunkt a) . Ganz wichtig; das Bild des Definitionsbereichs D unter einer Kontraktion muss immer wieder eine ( echte ! ) Teilmenge von D ergeben ( Warum? ) Wir können schließlich nicht dulden, dass dieses Bild auf den Mond oder gar in den Andromedanebel fällt ...
Jede auf einem kompakten Intervall stetige Funktion nimmt dort ihre globalen Extremata an; in diesem Sinne sind die Randpunkte des Intervalls zu untersuchen so wie die erste Ableitung. Randpunkte sind x1 = 3/2 ; x2 = 2 .
f ( x1 ) = f ( x2 ) = 7/4 ( 4a )
Das ist so weit in Ordnung. Aus ( 4a ) folgt aber unmittelbar, dass sich das lokale Minimum der Hyperbel in unserem Intervall befinden muss; Null setzen der Ableitung führt auf
x ( min ) = sqr ( 3 ) ===> ; f ( min ) = sqr ( 3 ) ( 4b )
Aha; das ist jetzt also schon unser Fixpunkt. Doch war das streng genommen noch gar nicht dran; wir haben erst " Kontraktion " zu zeigen. Liegt ( 4b ) innerhalb unsers Intervalls? Ich kenne keine Gnade; der TR bleibt in der Schublade.
x1 < f ( min ) < f2 ( 5a )
3/2 < sqr ( 3 ) < 7/4 | * HN ( 5b )
6 = sqr ( 36 ) < sqr ( 48 ) < 7 = sqr ( 49 ) ( 5c )
Aus der zu beweisenden Aussage ( 5b ) wurde die wahre Aussage ( 5c ) abgelitten - dürfen wir denn das? Ja, weil wir diese Ungleichung nur ===> Äquivalenzumformungen unterzogen haben.
Unterpunkt b= ist wieder mal typisch matematisch abgefasst; wirr, kryptisch und maximal unverständlich. Auch im Studium musste ich oft " aus zehn Büchern ein elftes schreiben "
Von einer anderen Aufgabe, die hier zufällig letzte Woche gestellt wurde, bringe ich nämlich ein vorwissen mit, dass du laut deinem Prof offensichtlich nicht haben darfst. Aus dem Mittelwertsatz ergibt sich nämlich
| f ( x ) - f ( y ) | < = | x - y | | f ' ( max ) | ( 6a )
Und eine Funktion auf einem reellen Intervall ist eine Kontraktion genau dann, wenn
(V) x | f ' ( x ) | < 1 ( 6b )
Du sollst also demn Betrag der Ableitung abschätzen. Da diese in unserem Fall streng monoton wachsend ist, genügt es, die Randpunkte zu untersuchen.
f ' ( x ) = 1/2 ( 1 - 3 / x ² ) ( 6c )
f ' ( x1 ) = ( - 1/6 ) ; f ' ( x2 ) = 1/8 ( 6d )
Und weil eben " echt kleiner " verlangt wird und nicht nur kleiner gleich, sagst du nicht 1/6 , sondern 1/3 . Dann bist du suf der sicheren Seite.
Unser Assistent sagte immer " esch kleinää " statt echt kleiner. Und statt " wirklich " sagte er " wüüükisch " Und dann
" Em Erstsemester derfste nix glaube. Die könne noch nettemaa denke; dene ihr Zeusch kannse voll in Feif rauche. Unn des Schlimmste: Die meine, es weeer wüüükisch so, wiese saache. Nachher im 7. Semester kannse schon emaa Pippifax mache; da wird des net missverstanne ... "
