Also wenn es um Streckenänderung pro Zeiteinheit geht, dann ist das nichts weiter als die Geschwindigkeit. Das ganze macht man hier mit dem Differenzenqoutienten, mithilfe von zwei Punkten die auf der x-Achsenperspektive um h entfernt sind. Nun will man aber keine mittlere Änderung von zwischen diesen beiden Punkten wissen, sondern, die momentane Änderungsrate in einem Punkt. Man lässt also einen Punkt immer näher zum anderen wandern. Oben Links sieht man, dass die beiden Punkte noch weit voneinander entfernt sind. Lässt man nun aber den Abstand h immer weiter gegen Null laufen, dann wird der Wert der momentanen (tangentialen) Steigung im Punkt D (linker Punkt des Steigungsdreiecks) immer präziser, weil für h gegen Null aus einer Sekante (Gerade durch zwei Punkte) eine Tangentente (Gerade durch einen Punkt) wird.
Und die Tangente, die dabei herauskommt gibt nun eine momentane Änderungsrate an.
Da es in deiner Aufgabe um die Strecke geht, so ist das also vom oben beschriebenen Beispiel die Änderung der Strecke pro Sekunde: die GESCHWINDIGKEIT.
Und so kann man mit dem Limes bei einem Graphen ihre momentane Änderungsrate (die Steigung) für einen beliebigen Punkt auf einem Graphen ermittelt werden. Noch macht ihr das bei bestimmten Punkten. Und ihr werdet merken, dass das mit der Zeit schon aufwendig ist. Dann werdet ihr euch dann die Frage stellen, wie man den mithilfe des Limes aus einer gegebenen Funktion eine neue so basteln könnt, sodass sie euch immer die Tangentensteigung in einem Punkt ausgibt. Diese Funktionen werden dann später Ableitungsfunktionen genannt.
Dabei sei noch gesagt, dass es zwei mögliche Limeten gibt: Einmal die h-Methode, die oben beschriben wird oder die x-x_0 Methode, die aber genauso funktioniert, mit dem Unterschied, dass man nicht mehr den Abstand h immer weiter verringert, sondern direkt den Punkt ,nennen wir ihn x, gegen x_0 laufen lässt.
h-Methode
$$ \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}} $$
x-x_0-Methode
$$ \lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} $$
Bei den Aufgaben musst du nun immer schauen, was gefragt ist. Handelt es sich um eine Strecke oder eine Streckenänderung(Geschwindigkeit)? Bei a wäre es die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=0.
Dann hat man also
$$ \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(t+h)-f(t)}{h}}=\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}\\=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1,25\cdot h^3-15\cdot h^2+45\cdot h-(1,25\cdot 0^3-15\cdot 0^2+45\cdot 0)}{h}\\=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1,25\cdot h^3-15\cdot h^2+45\cdot h-0}{h}\\=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1,25\cdot h^3-15\cdot h^2+45\cdot h}{h}\\=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h\cdot (1,25\cdot h^2-15\cdot h+45)}{h}\\=\lim_{h \rightarrow 0}{(1,25\cdot h^2-15\cdot h+45)}\\=1,25\cdot0^2-15\cdot 0 +45=45. $$
Analog mit der zweiten Methode
$$ \lim_{t \rightarrow t_0}{\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}}=\lim_{t \rightarrow 0}{\frac{f(t)-f(0)}{t-0}}=\lim_{t \rightarrow 0}{\frac{f(t)-f(0)}{t}}\\=\lim_{t \rightarrow 0}{\frac{1,25\cdot t^3-15\cdot t^2+45\cdot t-(1,25\cdot 0^3-15\cdot 0^2+45\cdot 0)}{t}}\\=\lim_{t \rightarrow 0}{\frac{1,25\cdot t^3-15\cdot t^2+45\cdot t}{t}}\\=\lim_{t \rightarrow 0}{\frac{t\cdot(1,25\cdot t^2-15\cdot t+45)}{t}}\\=1,25\cdot 0^2-15\cdot 0+45=45.$$
Was dir vielleicht bei beiden aufgefallen ist, ist, dass sich irgendwann das h bzw. das t durch Ausklmmern rauskürzt, was gut ist. Denn wann man sonst den Nenner gegen Null laufen ließe, würde man durch Null teilen, was man aber nicht darf!!!
Bei der x-x_0 Methode muss das mit dem sofort Ausklmmern nicht immer so glattlaufen, da auch t gegen einen anderen Wert laufen kann, wie in der letzten Aufgabe. Aber sowas geht schnell durch Polynomdivision zubehen, so dass der Nenner (t-3) rausgekürzt wird und man den Grenzwert für t gegen 3 erhält. Das kann aber manchmal vom Aufwand doch effizienter sein zu rechnen, da bei der h-Metode mal schnell große Binome entstehen können. Es hängt also auch sehr von der Beschaffenheit der Funktion ab, bzw. ist es auch Geschmackssache, wechle Methode man vorzieht. Habe mal das auch für die letzte Aufgabe mit beiden vorgerechnet wird, wo es mal deutlich wird.letzte Aufgabe.pdf (0,3 MB)
