flächeninhalt und integrale berechnen.

Question

ft(x)= -x(x-t)

a) Berechne Nullstellen in Abhängigkeit von t.

b) Berechne die von der x-Achse und ft eingeschlossene Fläche A(t)

c) Für welches t beträgt die Fläche 36 FE

Answer 1

Hallo Mathefrager,

a) die Frage nach den Nullstellen ist leicht zu beantworten. Ein Produkt ist genau dann =0, wenn einer der Faktoren des Produkts =0 ist - ergo:

$$\begin{aligned} x_1 &= 0 \\ x_2 - t &= 0  \quad \Rightarrow x_2 = t \end{aligned}$$

b) Die von der X-Achse und der Funktion eingeschlossenen Fläche \(A(t)\) befindet sich zwischen den Nullstellen \(x_1=0\) und \(x_2=t\) (für \(t\ge 0 \))  - also ist:

$$A(t) = \int_{0}^{t} -x(x-t) \, \text{d}x = \int_{0}^{t} -x^2+xt \, \text{d}x \\ \space = \left. -\frac13 x^3 + \frac12x^2 t \right|_{0}^{t} = t^3(\frac12 - \frac13) = \frac16 t^3$$

c) Soll \(A(t)=36\text{FE}\) sein, so setzte das einfach gleich

$$A(t) = \frac16 t^3 = 36 \text{FE} \Rightarrow t = 6 \text{LE}$$ sieht als Graph dann so aus:

~plot~ -x*(x-6);[[-2|8|-2|12]] ~plot~

Gruß Werner