Bruchgleichung lösen: x^2/(x - 6) = 36/(x - 6)

Question

Wir sollen diese Gleichung lösen:

\( \frac{x^{2}}{x-6}=\frac{36}{x-6} \)
a. -6
b. none of these
c. 6, -6
d. 6

Jedes Mal bekomme ich 0, 6, -6. Bei 0 wird es ungleich und bei 6 und -6 wird es immer eine 0 im Nenner. Ist es also 6,-6 oder keine oder was ganz anderes?

Answer 1

x^2/(x - 6) = 36/(x - 6)

mit (x - 6) multiplizieren x muss ungleich 6 sein

x^2 = 36

x = +- 6

+6 ist nicht im Definitionsbereich also ist die Lösung -6. A ist demnach richtig.

Answer 2

Hi clara, 

das ist wirklich tricky :-)

x = 6 scheidet aus, da dann in beiden Nennern 0 stünde. 

Multiplizieren wir beide Seiten mit (x - 6), so erhalten wir

x² = 36

Da x = 6 als Lösung ausscheidet, kann die Lösung also nur x = -6 sein.

Probe: 

36 / (-12) = 36 / (-12) | stimmt

Setzen wir dagegen das von Dir angedachte x = 0 ein, so erhalten wir: 

0² / (-6) = 0 ≠ 36 / (-6) = -6 

Besten Gruß

Answer 3

Da der Nenner nicht Null werden darf (die Brüche sind dann nicht definiert), darf x nicht den Wert 6 annehmen. Die Definitionsmenge ist also:

D = { x ∈ R | x <> 6 }

 

Es gilt dann:

x ² / ( x - 6 ) = 36 / ( x - 6 )

[Da beide Brüche denselben Nenner haben, sind sie genau dann gleichwertig, wenn ihre Zähler gleich sind, also:]

<=> x ² = 36

<=> | x | = √ ( 36 ) = 6

<=> x = 6 oder x = - 6

 

Die Lösungsmenge L ist also:

L = { x ∈ D | x = 6 oder x = - 6 }

Da 6 nicht in D nicht enthalten ist, gibt es kein x aus D, für das x = 6 gilt, folglich ist die Lösungsmenge also:

L = { - 6 }