Flächen unter Funktionsgraphen berechnen

Question

Ich habe gerade folgende Aufgabe durch gerechnet:

Berechnen Sie den Inhalt des abgebildeten Flächenstücks A.

f(x) = 2√x, I = [0;2]

g(x) = 2x^2 -8x + 8, I = [2;3]

Habe ich den Flächeninhalt richtig berechnet (s.Bild)?

MfG

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Edit: Ich habe mich bei f(x) verrechnet. Der Flächeninhalt muss lauten: A = 4,44

Answer 1

Bei f(x) = 2√x, passiert ein Fehler. richtig wäre 3,77

Ds Ergebnis der anderen Aufgabe ist 2/3

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Ja, den Fehler habe ich gerade auch entdeckt.

Answer 2

Ist deine Skizze falsch oder deine Intervallsetzung für f? Deine Wurzelfunktion ist nämlich in der Skizze grob nur auf [0;1] gezeichnet.

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Das ist nur eine grobe Skizze, die ich aus dem Buch abgezeichnet habe.

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Achso. Aber sie widerspricht schon sehr stark der Gestalt der Funktionen auf dem gegebenen Intervall. Hat mich nur gewundert.

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Hier nochmal die Skizze aus dem Buch mit Anmerkungen von mir.

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Achsooo. Bei deiner Frage dachte ich nur, dass deine Intervalle sich direkt auf deine Funktionen beziehen. Weil du hast geschreiben:

''

f(x) = 2√x, I = [0;2]

g(x) = 2x2 -8x + 8, I = [2;3]

''

Und so ist eher die Schreibweise zu sagen, dass man die Funktionen auf einem Intervall beschreibt.

Answer 3

A = ∫(0 bis 1) (2·√x) dx + ∫ (1 bis 3) (2·(x - 2)^2) dx = 8/3

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Ich kann deine Rechnung nicht nachvollziehen.

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Das ist auch nur der Ansatz und die Lösung. Gerechnet hat mein Programm. Du kannst die Funktionen erkennen die zu integrieren sind und du siehst die Grenzen.

Deine Funktionen waren schon gut. Die Grenzen jedoch nicht. Probiere es nochmals mit den richtigen Grenzen und schau ob du mein Ergebnis dabei heraus bekommst.

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Könntest du mir erklären, wie du auf die Intervallgrenzen kommst?

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Na klar. Schau mal in welchem Bereich von x die Parabel die obere Flächenbegrenzung bildet und in welchen Bereich die Wurzelfunktion die obere Flächenbegrenzung bildet.

Zeichne bei Bedarf die obere Flächenbegrenzung nach und frage dich zu welchem Funktionsterm das zählt.

Ist das dann klarer?

~plot~ 2*sqrt(x);2*x^2-8*x+8;x=1;x=2;x=3;[[0|4|0|3]] ~plot~

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Super danke, ich habe es endlich verstanden!

Jetzt frage ich mich nur bloß, wieso man den Flächeninhalt von g(x) mit dem Intervall [1;3] berechnet. Muss das Intervall nicht in [1;2] und [2;3] aufteilen und am Ende die beiden Werte addieren?

Answer 4

Die gelb markierte Fläche ist
f(x) = 2√x, I = [0;1]
g(x) = 2x2 -8x + 8, I = [2;3]

Also ∫ f ( x ) dx zwischen 0 und 1
plus
∫ g ( x ) dx zwischen 1 und 3

Bei Bedarf nachfragen.

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Was ist ∫ g ( x ) dx zwischen 1 und 3, wenn g nur für I = [2;3] definiert ist?

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Was ist ∫ g ( x ) dx zwischen 1 und 3, wenn g nur für I = [2;3] definiert ist?

Wer sagt denn das g(x) nur im Intervall [2; 3] definiert ist? Vermutlich der Fragesteller, der die Intervallgrenzen aus der Skizze falsch bestimmt hat.
Ein Antwortgeben muss hier zunächst offensichtlich alles infrage stellen. Zunächst mal alle Angaben vom Fragesteller.

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Wie würdest du g(x) = 2x2 -8x + 8, I = [2;3] interpretieren?

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Hallo coach,
ich habe die erste Aussage per kopieren
und einfügen übernommen und dabei das
2.Intervall für g falsch mitübernommen.
3 Zeilen tiefer steht es bereits richtig.
Kein Grund für eine tiefenpsychologische
Erörterung des Fehlers.

Spruch des Tages
Dumm sein und Arbeit haben das ist das wahre
Glück

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Ich verstehe leider noch nicht ganz wieso meine Intervalle falsch sind...

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Wie würdest du g(x) = 2x2 -8x + 8, I = [2;3] interpretieren?

Als das was es ist: Einen offensichtlichen Cut & Paste Übernahme-Fehler.

Da wurde weder drauf geachtet das Quadrat richtig wieder hochzustellen noch das Intervall zu berichtigen.

Sicher als Antwort nicht besonders schön, aber auch kein Grund sich groß drüber aufzuregen.

Interpretiere es so wie es ist: Übernommene Hinweise des Fragestellers, die man eh getrost infrage stellen darf.

Ich kopiere Dinge beim Beantworten auch einfach so, allein um beim Beantworten die Frage weiterhin vor Augen zu haben.

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Ich verstehe leider noch nicht ganz wieso meine Intervalle falsch sind...

Dann schau dir die Antwort von hallo97 an und markiere die Fläche dort wie du sie berechnet hast.

Er hat dir schön aufgemalt wie du die Intervalle benutzt hast. Dort siehst du dann auch das das nicht mit der Zeichnung übereinstimmt.

Im Intervall [1, 2] ist schon die Parabel die obere Flächenbegrenzung und nicht wie du annimmst die Wurzelfunktion.

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Ich kopiere Dinge beim Beantworten auch einfach so,...

Ich nicht.

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Ich habe die Skizze nun verändert. Ist das richtig?

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Ja. So ist das besser.

Und so verstehst du es auch besser oder?