Polynomberechnungen in Körpern

Question

Es sei $$p(x):=4x+3$$ ein Polynom mit Koeffizienten im Körper K. Berechnen Sie für $$K := Z_5;K := Z_7$$ das Polynom $$q:=p^3$$, wobei $$q \in K[x]$$

($$Z_5$$ ist dabei die mod 5-Operation und analog dazu mod 7 für das zweite Z.)

Leider weiß ich nicht genau, wie ich das Polynom berechnen sollte. Ein kleiner Denkanstoß wäre schön.

Comments

EDIT: Verzichte besser auf LaTeX, wenn die Zeilenumbrüche verwirren.

Du kannst _  (4) verwenden(ohne Abstand) .

Z_(5) und Z_(7) könnten 2 verschiedene Teilaufgaben sein.

Answer 1

Z_(5) im Folgenden

p(x) = (4x + 3)

(p(x))^3 = (4x + 3)^3 = (3 - x)^3 = (3 -x)^2 (3-x)

= (9 - 6x + x^2 )(3-x)

= (-1 - x + x^2)(3-x)

= -3 + x -3x + x^2 + 3x^2 - x^3

= -x^3 + 4x^2 - 2x - 3

= 4x^3 + 4x^2 + 3x + 2

Bitte nachrechnen! Gut möglich, dass ich mich verrechnet habe und/oder, dass es auch einfacher geht.

Comments

Alles klar, danke - aber ich verstehe die Zeile 2 nicht ganz. Wie bist du von (4x+3)^3 auf die rechte Seite gekommen?

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Das würde ich so machen, weil es nicht allzu viel Arbeit macht.

Nur: Vielleicht geht es noch einfacher. Schau mal in deinem Skript.

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Alles klar, danke - aber ich verstehe die Zeile 2 nicht ganz. Wie bist du von (4x+3)3 auf die rechte Seite gekommen?

Edit: Sry, habs jetzt ausversehen 2mal geschrieben :D

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Meinst du dort, wo ich -1 statt 4 genommen habe?

4 - 5 = -1

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9 mod 5 = 4 und woher kommt die -5? Sry, dass ich mich so doof anstelle, aber ich stehe gerade auf dem Schlauch.

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4 ≡ -1 modulo 5

9 ≡ 4 ≡ -1 modulo 5

Schreibe das besser so. ≡ ist etwas mühsam zu tippen.

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Alles klar danke dir! Jetzt verstehe ich. Bei Z_(7) wäre das dann dasselbe, außer dass man mit einem anderen Modulo fortfährt. Dann probiere ich das mal.

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in der 5. Zeile ist ein Fehler ... meiner Meinung nach fehlt dort +3x^2

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Habe das korrigiert. Nun ok?

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jetzt ist leider in der 6. Zeile das +x verloren gegangen ^^

Meine Lösung wäre 4x^3 + 4x^2+3x+2