Teleskopsumme Aufgabe

Question

Ich bin gerade ein wenig im Stress, da ich noch sehr viele Abgaben bis morgen habe, daher wäre essuper wenn ihr mir nur bei dieser Aufgabe weiterhelfen könntet.

Tausend Dank im Voraus und noch einen schönen Tag !!!:))

Wir definieren eine Folge von reellen Zahlen (an) durch a₀ := 0, a₁ := 1, a₂ := 1/2,a₃ := 1/2(1 + 1/2) = 3/4, allgemein durch die rekursive Definition a_n+2 =1/2 (a_n+1 + a_n) für alle  n≥0.
(a) Betrachten Sie hilfsweise die Folge der Differenzen c_n := a_n+1 − a_n und zeigen Sie, dass diese durch
(−1)ⁿ/2ⁿ gegeben ist.
(b) Berechnen Sie die “Teleskopsumme” Σn−1(obere Schranke) k=0(untere) c_k = (a₁ − a₀) + (a₂ − a₁) + · · · + (a_n − a_n−1) mit Hilfe der
geometrischen Reihe.
(c) Schließen Sie, dass an konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert.

Answer 1

Es gilt
$$ c_n = a_{n+1}-a_n = \frac{a_n+a_{n-1}}{2} - a_n = -\frac{1}{2} (a_n - a_{n-1}) = -\frac{1}{2} c_{n-1} $$
Also
$$ c_n = \left( -\frac{1}{2} \right)^n $$
Weiter folgt
$$ \sum_{k=0}^{n-1} c_k = \sum_{k=0}^{n-1} (a_{n+1} - a_n) = a_n -a_0 = a_n $$

und andererseits gilt

$$ \sum_{k=0}^{n-1} c_k = \sum_{k=0}^{n-1} \left( -\frac{1}{2} \right)^k = \frac{\left( -\frac{1}{2} \right)^n - 1}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{2}{3} \left( 1 - \left( -\frac{1}{2} \right)^n \right) $$

Also

$$ a_n = \frac{2}{3} \left( 1 - \left( -\frac{1}{2} \right)^n \right) \to \frac{2}{3} $$