Teleskopsumme berechnung 2-e

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

c) Rekhecuse / Tekskop-Sunne:
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\left(\frac{1+\frac{1}{n}}{e}\right)^{n}-\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right) \)
2-e?

Fon: \( \left.\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=\lim \limits_{N \rightarrow \infty}\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=\lim \limits_{N \rightarrow \infty}\left(a_{1}-a_{N+1}\right)=a_{1}-\lim \limits_{N \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{N+1}\right)^{N+1}\right) \)

Problem/Ansatz:

Wieso kommt hier das als Endergebnis 2-e. ? Könnte mir vielleicht jemand das erklären .

Danke

Comments

Bilde 2 Teilsummen.

Der Subtrahend hat den Summenwert e.

Der Minuend geht gegen 1,2297

https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+%28%28%281%2B1%2Fn%29%29%2Fe%29%29%5En+from+1+to+infinit

Answer 1

Teleskopsummen: Schreibe es als zwei Summen \(\sum\limits_{n=1}^k a_n -a_{n+1}=\sum\limits_{n=1}^k a_n - \sum\limits_{n=1}^k a_{n+1}= a_1-a_{k+1}\). Bilde davon dann \(\lim\) für \(k\to\infty\), siehe die Zeile dadrunter: \(a_1=2, \lim a_{k+1}=\lim a_k =e\).

Comments

(1+ 1/n)ⁿ = e ist schon klar aber wieso dann minus

---

Weil die 2. Teilsumme subtrahiert wird.