Funktionsscharen, Scharfunktionen

Question

Untersuchen Sie die Funktion f auf lokale Extremstellen. Verwenden Sie als hinreichende Bedingung das f''-Kriterium, sofern dies anwendbar ist.

1.) f_a(x)= 3a^2*x^3-1/5x^5, a>0

Mein Ansatz:

f (x)= 3a^2*x^3-1/5x^5, a>0

f'(x)= 9a^2*x^2-x^4

f''(x)= 18a^2*x-4x

notwendige Bedingung: f'(x)=0

0=9a^2*x^2-x^4

0= x^2*(9a^2-x^2)

0=x^2 / √                             

v

0= 9a^2-x^2 / +x^2

x^2=9a^2     / √

x2,3= ± √9a^2

aber bei der hinreichenden Bedingung komme ich nicht weiter.

h.B. f''(x) ≠ 0

f''(+ √9a^2) > 0

=> lokales Minimum, aber mein Taschenrechner zeigt mir einen lokalen Hochpunkt an ?

f''(- √9a^2) < 0

=> lokales Maximum, aber mein Taschenrechner zeigt mir einen lokalen Tiefpunkt an?

f''(0)=0

=> hier mit dem VZW-Kriterium überprüfen (?)

Habe als Teststellen x=-1 und +1 verwendet und in f' eingesetzt, es es kommt bei beiden eine positive Steigung raus

Folglich ist bei S (0/0) ein Sattelpunkt.

Kann mir aber jemand bitte bei dem hinreichendem Kriterium weiterhelfen?

                                         

x=0                            

Answer 1

x2,3= ± √9a² muss heißen x_2,3= ± √(9a²)=±3a.Vielleicht geht es jetzt?

Comments

Nein, geht auch nicht, wenn ich zB. für a=1 einsetze.

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f''(x)= 18a²*x-4x muss heißen f''(x)= 18a²*x-4x³.

Answer 2

Stellen mit waagerechter Tangente
x = 0
und
x = -3a
und
x = 3a

f´´ ( x ) = 18 * a^2 * x - 4x^3

Die Stellen eingesetzt in die 2.Ableitung ergeben
f´´ ( 0 ) = 18 * a^2 * 0 - 4*0 ^3 = 0
Wird zum Schluß besprochen.

f´´ ( -3a ) = 18 * a^2 * (-3a)  - 4 * ( -3a) ^3
f´´ ( -3a ) = -54 * a ^3   + 108 * a ^3
f´´ ( -3a ) = 54 * a ^3 
Eingangsangabe a > 0
f´´ ( -3a ) = 54 * a ^3   | positiv ; Linkskrümmung
Die Stelle ist ein Tiefpunkt

f´´ ( 3a ) = 18 * a^2 * (3a)  - 4 * ( 3a) ^3
f´´ ( 3a ) = 54 * a ^3  - 108 * a ^3
f´´ ( 3a ) = -54 * a ^3
Eingangsangabe a > 0
f´´ ( 3a ) = -54 * a ^3  | negativ ; Rechtskrümmung
Die Stelle ist ein Hochpunkt

Verwenden Sie als hinreichende Bedingung
das f''-Kriterium, sofern dies anwendbar ist.
f´´ ( 0 ) = 18 * a^2 * 0 - 4*0 ^3 = 0
Das f ´´ ergibt keine eindeutige Beurteilung.

Bei Bedarf nachfragen.

Comments

Hier für a = 1 der Graph