Ganzrationale Funktion dritten Grades bestimmen mit Tiefpunkt T(1/-2)

Question

Die ganzrationale Funktion dritten Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems und hat den Teifpunkt T(1-2).

Comments

Achsensymmetrie zur y-achse :
nur gerade Exponenten ( Beispiel )
f ( x ) = a x ^4 + b x^2

Punktsymmetrie zum Ursprung :
nur ungerade Exponenten ( Beispiel )
f ( x ) = a * x^5 + b * x^3 + c * x

Answer 1

f(x) = ax^3 + bx

f'(x) = 3ax^2 + b

f(1) = -2 --> a + b = -2

f'(1) = 0 --> 3·a + b = 0

Löse das Gleichungssystem und erhalte: a = 1 ∧ b = -3

f(x) = x^3 - 3x

Prüfe jetzt die Funktion.

Comments

Danke, kannst du mir sagen, wieso du als Ansatz nicht f(x) = ax³ +bx²+cx +d genommen hast?

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"ist symmetrisch zum Ursprung"

Was weißt du über eine Punktsymmetrie zum Ursprung?

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Das heisst, dass gilt:

f(x) = -f(-x)

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Und bei ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktionen) dass alle Exponenten von x ungerade sind.

Answer 2

Die ganzrationale Funktion dritten Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems und hat den Tiefpunkt \(T(1|-2)\).

\(T(1|-2)\) und symmetrisch zum Ursprung :\(H(-1|2)\)

Ich verschiebe den Graphen um 2 Einheiten nach oben  \(T´(1|0)\)   \(H´(-1|4)\)     \(W´(0|2)\)

\(f(x)=a*(x-1)^2*(x-N)\)

\(H´(-1|4)\)

\(f(-1)=a*(-1-1)^2*(-1-N)=4a*(-1-N)\)

\(4a*(-1-N)=4\)      \(a=-\frac{1}{1+N}\)

\(f(x)=-\frac{1}{1+N}*(x-1)^2*(x-N)\)

\(W´(0|2)\)

\(f(0)=-\frac{1}{1+N}*(0-1)^2*(0-N)=\frac{1}{1+N}*N=2\)    \(N=-2\)     \(a=-\frac{1}{1-2}=1\)

\(f(x)=(x-1)^2*(x+2)\)

um 2 Einheiten nach unten:

\(p(x)=(x-1)^2*(x+2)-2\)