Punkte einer Ebene, welche senkrecht zu einem ihrer Richtungsvektoren stehen. Aufgabe 4b

Question

Gegeben sind \( O(0 / 0 / 0), A(2 / 0 / 8), C(-2 / 4 / 4) \) und \( D(6 / 8 / 0) \) als Eckpunkte des Spats (s. Abbildung).

a) Weisen Sie nach, dass für alle k gilt: \( \overrightarrow{A C} \neq k \cdot \overrightarrow{C D} \). Interpretieren Sie diesen Sachverhalt im Hinblick auf die gegenseitige Lage der Punkte \( A, C \) und \( D \). Bestimmen Sie die Größe des von den Kantenvektoren \( \vec{c} \) und \( \vec{d} \) eingeschlossenen Winkels. Der in der Abbildung eingezeichnete Punkt \( T \) teilt die Flächendiagonale \( \overline{C D} \) im Verhältnis 1:3. Ermitteln Sie die Koordinaten von \( T \) sowie die des Eckpunkts \( F \) des Spats.

Zeigen Sie, dass alle Punkte \( P \) der Ebene \( E \), deren Ortsvektoren \( \overrightarrow{O P} \) senkrecht zu \( \overrightarrow{A C} \) sind, auf einer Geraden liegen, und ermitteln Sie eine Gleichung dieser Geraden.

Zu zeigen ist, dass alle Punkte P der Ebene, deren Ortsvektoren OP senkrecht auf AC sind auf einer Geraden liegen. Diese Gerade soll dann bestimmt werden.

Es ist nicht das Problem, die Ebene aus den drei gegebenen Punkten zu bestimmen. Es ist auch nicht das Problem einen senkrechten Vektor zu AC zu bestimmen. Nur das was dann folgt ist für mich noch nicht ganz schlüssig.

Kann ich nicht jeden Punkt der Ebene nehmen und auf ihn den senkrechten Richtungsvektor zu AC anwenden??

Wenn ich aber jeden x-beliebigen Punkt der Ebene nehmen kann (könnte), dann liegen sie aber ja nicht alle auf einer Geraden und die Fragestellung behauptet ja, dass es mehrere Punkte auf der Ebene geben soll, welche eine Gerade bilden.

Comments

Welcher der beiden Punkte C in der Skizze ist denn bei b) gemeint?

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C ist der Punkt hinten links unten. Die Ebene durch die Punkte ADC ist die im Bild schon angedeutete schraffierte Dreiecksfläche.

Answer 1

A = [2,0,8], C = [-2,4,4], D = [6,8,0]

AC = [-2,4,4] - [2,0,8] = [-4, 4, -4]
AD = [6,8,0] - [2,0,8] = [4, 8, -8]

AC x AD = [-4, 4, -4] x [4, 8, -8] = [0, -48, -48] = - 48·[0, 1, 1]

[x, y, z]·[0, 1, 1] = [2, 0, 8]·[0, 1, 1]
y + z = 8
z = 8 - y

Die Punkte der Ebene haben also die Form [x, y, 8 - y]

Damit die Ortsvektoren senkrecht zu AC sind muss gelten

[x, y, 8 - y]·[-4, 4, -4] = 0
4·x - 8·y = -32
y = 0.5·x + 4

Also haben die Punkte die Form

[x, (0.5·x + 4), 8 - (0.5·x + 4)] = [x, 0.5·x + 4, 4 - 0.5·x] = [0, 4, 4] + k·[2, 1, -1]

Comments

Hi erstmal vielen Dank für deine ausführliche Antwort.

Eine Verständnisfrage hätte ich noch.

Du bildest ja am Anfang mit dem Kreuzprodukt den Normalenvektor der Ebene. Soweit verständlich.

Dann nimmst du einen allgemeinen Punk (x,y,z) * den Normalenvektor und vergleichst dieses Skalarprodukt mit dem Skalarprodukt von A (2,0,8) * den Normalenvektor.

Aus welchem Grund machst du das? Sonst ist mir das weitere Vorgehen klar. Nur dieser Schritt nicht.

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Ich vergleiche nicht. Das ist dann die Koordinatenform der Punkte der Ebene.

Alle Punkte [x, y, z] die die Gleichung erfüllen sind Punkte der Ebene.