Abstand Ebene Punkt(Least Squares)

Question

$$ E1= (1|0|1) + s(1|1|1) + t(0|1|-1) | s,t   E  \mathbb {R} $$

                |                 |                       |

              (u0)            (v)                    (w)

 [vv      wv]            [2         1]                   [qv ]

                      =                               , b = [qw ]

 [vw    ww]            [1          2]

q|| = x1*v+x2*w = (1|1|0) + 1/3 (0|1|-1) = 1/3 (1|2|-1)

                                                                                                           -> LGS   2     1  | 1

B. Improx                                                                                                          1      2 | 1

-> u0+q|| = (1|0|1) +1/3(1|2|-1)                                                                         _ _ _   |__

= 1/3 (4|2|2)                                                                                                       2     1 | 1

                                                                                                                         0   3/2 | 1/2

                                                                                                                     2x1+x2= 1

                                                                                                                      3/2x2= 1/2 <=> x2 = 1/2

                                                                                                                      => I) 2x1+1/2 =1 <=> 2x1 = 1/2 |:2 x1= 1/4

$$q\perp = q - q|| = (0|1|0)- 1/3(1|2|-1) = 1/3 (-1|1|1) $$ 

Improx

->$$ |q\perp| = 1/3      |~(-1|1|1)~| = 1/3 *\sqrt { 3 } = 1/\sqrt { 3 }$$

Wieso kommt für b nun (1|1) raus?

Und wie geht man vor , um auf die Werte vv, wv etc zu kommen (Ansatz vw (1|1|1)*(0|1|-1)

Comments

ich werde aus Deinem Posting (s.o.) nicht schlau. Anscheinend ist nach dem Abstand eines Punktes zu einer Ebene gesucht und es soll das 'least square'-Verfahren angewendet werden. Die Ebene \(E_1\) ist noch klar, aber ab da wird es unübersichtlich .. Wo ist denn der Punkt, dessen Abstand gesucht ist?

Wieso kommt für b nun (1|1) raus?

Ich interpretiere Deine Ausführungen so, dass

$$b = \begin{pmatrix} q \cdot v\\  q \cdot w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\  1\end{pmatrix}$$ sein soll. Aber was ist \(q\)?

Und wie geht man vor , um auf die Werte vv, wv etc zu kommen (Ansatz vw (1|1|1)*(0|1|-1)

das ist wohl das Skalarprodukt aus den Vektoren \(v\) und \(w\):

$$v^T \cdot w = \begin{pmatrix} 1&  1& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ -1\end{pmatrix} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0 \ne 1$$

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Punkt Q ist (1|1|1)

q = q0-u0  => q(0|1|0) Ist Methode der kleinsten Quadrate auf Vektoren angewendet..

Leider kann ich deine Ausführungen schlecht entziffern (wegen dem defekten Formeleditor)

Wieso kriegst du dann 0 raus und nicht 1, wenn es das Skalarprodukt ist?

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Leider kann ich deine Ausführungen schlecht entziffern (wegen dem defekten Formeleditor)

Die Darstellung der Formeln geschieht mit MathJax. Was für einen Browser benutzt Du?

Wieso kriegst du dann 0 raus und nicht 1, wenn es das Skalarprodukt ist?

Mein Kommentar oben als Bild:

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matheretter

Und muss man etwa nur die ersten zwei zeilen nehmen? (1 1) (0 1)?

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Und muss man etwa nur die ersten zwei zeilen nehmen? (1 1) (0 1)?

Nein - was sollte das für einen Sinn haben. Deine Gleichungen oben sind schon richtig, nur die Zahlenwerte (Skalarprodukte) sind falsch berechnet. Es ist

[[vv, vw], [vw, ww]] b = [(q-u0)v, (q-u0)w]

[[3, 0], [0, 2]] b = [1, 1]

Daraus folgt b1=1/3; b2=1/2 und nach Einsetzen in die Ebenengleichung erhält man

[1,0,1] + [1,1,1]*1/3 + [0,1,-1]*1/2 = [4/3, 5/6, 5/6]

|q -  [4/3, 5/6, 5/6]| =  |[-1/3, 1/6, 1/6]| = sqrt(6)/6 = 0.4082...

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siehe Geoknecht3D.

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b war aber nicht gegeben.. Wollte ich nur sagen..

Und, ich wollte wissen, ob du meinst, ob die einzelnen Werte vv vw vw ww falsch wären?

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b war aber nicht gegeben.. Wollte ich nur sagen..

Natürlich nicht. Das '[[vv, vw], [vw, ww]] b = [(q-u0)v, (q-u0)w]' ist ein lineares Gleichungssystem mit b als Unbekannte.

Und, ich wollte wissen, ob du meinst, ob die einzelnen Werte vv vw vw ww falsch wären?

Ja- von Deinem Werten ist nur ww=2 richtig. v und w stehen senkrecht auf einander, also ist vw=0 und vv ist [1;1;1]*[1;1;1]^T=3 und nicht zwei.

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Und, wenn man nur 2 Ebenen nimmt und es deswegen so zustande gekommen ist?? (will nur sichergehen...

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Und, wenn man nur 2 Ebenen nimmt und es deswegen so zustande gekommen ist?? (will nur sichergehen...

Da ist nur eine Ebene E₁. Ich weiß nicht was Du unter 'Ebene' verstehst, wenn Du meinst durch Entfernen der dritten Koordinate auf zwei Ebenen zu kommen ??

Hast Du Dir im Geoknecht3D das Szenario angesehen? Dort habe ich Dir, den Stützpunkt U₀ mit den beiden Vektoren v und w eingezeichnet, die die grüne Ebene aufspannen. Die rote Strecke zeigt den Abstand vom Punkt q₀ zu dieser Ebene.

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Sind die Werte denn mit hoher Sicherheit falsch? also die von vv vw wv ww?

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Sind die Werte denn mit hoher Sicherheit falsch? also die von vv vw wv ww?

komische Frage! Ich frage mich, warum Du das fragst, wo es doch ganz einfach nachzurechnen ist ..., aber vielleicht ...

Wenn (wie oben in der Aufgabe angegeben) $$v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad w = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$ dann ist $$vv = v^T \cdot v = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 1\cdot 1 + 1\cdot 1 + 1\cdot 1 = 3 \ne 2$$ $$vw = v^T \cdot w = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = 1\cdot 0 + 1\cdot 1 + 1\cdot (-1) = 0 \ne 1$$ und $$\begin{pmatrix} vv & vw \\  vw & ww\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\  0 & 2\end{pmatrix}$$ wie bereits oben angegeben.

Aber wenn womöglich $$v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ sein sollte, dann wäre $$vv = v^T \cdot v = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1\cdot 1 + 1\cdot 1 + 0\cdot 0 = 2$$ $$vw = v^T \cdot w = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = 1\cdot 0 + 1\cdot 1 + 0\cdot (-1) = 1$$ und $$\begin{pmatrix} vv & vw \\  vw & ww\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\  1 & 2\end{pmatrix}$$

.. und jetzt hoffe ich mal, dass der LaTeX-Prozessor funktioniert. Evt. einfach die Seite noch mal aktualisieren.

Answer 1

Ich verstehe den Dialog oben so, dass der Abstand zwischen

Ebene \( E_1: \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix} \)

und Punkt Q(1 | 1 | 1)

gesucht ist.

\(\displaystyle \min \left(\sqrt{(1+s-1)^{2}+(s+t-1)^{2}+(1+s-t-1)^{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{6}} \quad ;\quad (s, \,t)=\left(\frac{1}{3},\, \frac{1}{2}\right) \)