Grenzwertaufgabe lösen lim_{x→0} (e^x + x)^{1/x}

Question

wie löse ich die Grenzwertaufgabe $$\lim\limits_{x\to0} (e^x+x)^{1/x}$$

Ich habe erst einmal alles logarithmiert

dann bekomme ich $${1/x}\lim\limits_{x\to0}ln (e^x +x)$$

damit würde 1/x gegen unendlich gehen und das in der Klammer gegen 0. Deswegen nehme ich das 1/x unter den Bruch. Dann habe ich:

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{ln (e^x +x)}{x}$$

Dann habe ich den Fall dass 0/0 herrscht und ich L'hospital anwenden kann. Dann bekomme ich durch Anwenden von l'hospital:

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{(e^x +1)}{e^x+x}$$ Das geht dann gegen 2. Und wenn ich jetzt wieder alles exp. nehme, dann bekomme ich raus, dass der Grenzwert gegen e^2 geht. Stimmt das?

Answer 1

dann bekomme ich raus, dass der Grenzwert gegen e^2 geht. Stimmt das?  JA

Answer 2

  Hast dj Picobello gemacht.  Aber sags doch ganz einfach .  Mit

      f  (  x  )  :=   ln  [  x  +  exp  (  x  )  ]       (  1  )

     bildest du den Differenzenquotienten  (  DQ  )

                                  f ( x ) - f ( 0 )

        F  (  x  )  :=     -----------------------          (  2  )

                                          x

schlicht und ergreifend, weil f ( 0 ) = 0 .   Und der Grenzwert dieses DQ  ist bekanntlich  f  '  (  0  )

    Übrigens weil hier deine Formulierung angemault wurde, dass der " Grenzwert gegen  2 geht. "  Hast du dich mal mit den Hopi_Indianern beschäftigt?  So ein Stammesforscher fragte den Hopihäuptling ( in seiner Sprache )  nach dem Weg.

    "  Also Sie sagen, der Weg geht gradaus, klettert über einen Hügel; und nach der nächsten Kreuzung biegt er links ab. "

    Der   Indianer schüttelte sich vor Lachen ( wahrscheinlich, weil er gar nicht aus Indien war. )

   Und nach dem Grund für seine Heiterkeit befragt

   " Ich habe noch nie gehjört, dass ein WEG klettert oder  ' geht '  -  SIE gehen. der Weg ist einfach nur da ... "

   Oder soll ich das Wort Grenzwert hinterfragen?  Wie viel ist eine Grenze wert?

Comments

Hahahahahahahahah

Answer 3

Das passt vielleicht. Vgl. mal mit der Abbildung hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(e%5Ex%2Bx)%5E(1%2Fx)

und

https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+(e%5Ex%2Bx)%5E(1%2Fx)

Übrigens: Der fragliche Grenzwert ist e^2 und nicht "geht gegen e^2."

Answer 4

Habe ich auch heraus : e^2

Comments

warum sollte das nicht stimmen ?  Ich rechne meistens richtig.

:-)