Aufgabe:
Untersuchen Sie, ob der Grenzwert \( \lim \limits_{x \rightarrow 0}(1 / \sin (x)-1 / x) \) existiert, und berechnen Sie diesen gegebenenfalls.
Meine Lösung lautet:
$$ \frac { 1 }{ sin\left( x \right) } -\frac { 1 }{ x } =\frac { x-sin\left( x \right) }{ x\cdot sin\left( x \right) } =:\frac { f\left( x \right) }{ g\left( x \right) } $$
$$ =>\frac { f'\left( x \right) }{ g'\left( x \right) } =\frac { 1-cos\left( x \right) }{ \sin { \left( x \right) +x\cdot \cos { x } } } $$
$$ =>\frac { f''\left( x \right) }{ g''\left( x \right) } =\frac { sin\left( x \right) }{ \cos { \left( x \right) + } \cos { \left( x \right) -x\cdot \sin { \left( x \right) } } } =\frac { sin\left( x \right) }{ 2\cdot \cos { \left( x \right) -x\cdot \sin { \left( x \right) } } } $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { sin\left( x \right) }{ 2\cdot \cos { \left( x \right) -x\cdot \sin { \left( x \right) } } } } =\frac { 0 }{ 2-0 } =0 $$
Ist ja eigentlich schön und gut. Wenn man die Funktion plottet, sieht man auch, dass das stimmt. Allerdings sind die Voraussetzungen für l'Hospital folgende:
Satz 7 (Regeln von de l'Hospital). Seien \( f, g:] a, \infty[\rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar, und gelte \( g^{\prime}(x) \neq 0 \) für alle \( \left.x \in\right] a, \infty[. \) Ferner gelte
(i) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} g(x)=0 \) oder
(ii) \( g \) ist bestimmt divergent für \( x \rightarrow \infty \),
und \( f^{\prime} / g^{\prime} \) besitze einen Grenzwert oder sei bestimmt divergent für \( x \rightarrow \infty . \) Dann besitzt \( f / g \) die entsprechende Eigenschaft mit
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \)
Wir müssen ja nicht unendlich, sondern 0 betrachten. Das Problem ist, dass f'/g' keinen Grenzwert besitzt und auch nicht bestimmt divergent ist, weswegen ich l'Hospital gar nicht anwenden darf. Außerdem steht oben ja, dass g'(x) ≠ 0 sein muss für alle x ∈ ]a,0[. Die Funktion g'(x) besitzt allerdings unendlich viele Nullstellen, was also auch nicht stimmt. Oder kann ich für mein a einfach eine reelle Zahl betrachten, die vor bzw. nach einer Nullstelle liegt, sodass in meinem Definitionsbereich keine Nullstelle vorkommt?
