Untersuchen Sie, ob der Grenzwert limx→0 (1 / sin(x) - 1/x) existiert, und berechnen Sie diesen gegebenenfalls.

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob der Grenzwert $\lim \limits_{x \rightarrow 0}(1 / \sin (x)-1 / x)$ existiert, und berechnen Sie diesen gegebenenfalls.

Meine Lösung lautet:

$$\frac { 1 }{ sin\left( x \right) } -\frac { 1 }{ x } =\frac { x-sin\left( x \right) }{ x\cdot sin\left( x \right) } =:\frac { f\left( x \right) }{ g\left( x \right) }$$
$$=>\frac { f'\left( x \right) }{ g'\left( x \right) } =\frac { 1-cos\left( x \right) }{ \sin { \left( x \right) +x\cdot \cos { x } } }$$
$$=>\frac { f''\left( x \right) }{ g''\left( x \right) } =\frac { sin\left( x \right) }{ \cos { \left( x \right) + } \cos { \left( x \right) -x\cdot \sin { \left( x \right) } } } =\frac { sin\left( x \right) }{ 2\cdot \cos { \left( x \right) -x\cdot \sin { \left( x \right) } } }$$
$$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { sin\left( x \right) }{ 2\cdot \cos { \left( x \right) -x\cdot \sin { \left( x \right) } } } } =\frac { 0 }{ 2-0 } =0$$
Ist ja eigentlich schön und gut. Wenn man die Funktion plottet, sieht man auch, dass das stimmt. Allerdings sind die Voraussetzungen für l'Hospital folgende:

Satz 7 (Regeln von de l'Hospital). Seien $f, g:] a, \infty[\rightarrow \mathbb{R}$ differenzierbar, und gelte $g^{\prime}(x) \neq 0$ für alle $\left.x \in\right] a, \infty[.$ Ferner gelte
(i) $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} g(x)=0$ oder
(ii) $g$ ist bestimmt divergent für $x \rightarrow \infty$,
und $f^{\prime} / g^{\prime}$ besitze einen Grenzwert oder sei bestimmt divergent für $x \rightarrow \infty .$ Dann besitzt $f / g$ die entsprechende Eigenschaft mit
$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$

Wir müssen ja nicht unendlich, sondern 0 betrachten. Das Problem ist, dass f'/g' keinen Grenzwert besitzt und auch nicht bestimmt divergent ist, weswegen ich l'Hospital gar nicht anwenden darf. Außerdem steht oben ja, dass g'(x) ≠ 0 sein muss für alle x ∈ ]a,0[. Die Funktion g'(x) besitzt allerdings unendlich viele Nullstellen, was also auch nicht stimmt. Oder kann ich für mein a einfach eine reelle Zahl betrachten, die vor bzw. nach einer Nullstelle liegt, sodass in meinem Definitionsbereich keine Nullstelle vorkommt?

Answer 1

Hi Bruce,

1. Du kannst die Regel auch für $x \to 0$ umformulieren. Dann betrachtest du auch das Intervall $]0, a[$ anstatt $]a, \infty[$. Natürlich kannst du dann das $a$ so nahe an $0$ wählen dass $g(x) \neq 0$ gilt.

2. A Priori weißt du  noch gar nicht ob $\frac{f'}{g'}$ einen Grenzwert besitzt. Da aber $f'$ und $g'$ an sich wieder die Voraussetzungen erfüllen kannst du nochmal l'Hospital anwenden. Wie du selber gesehen hast, hat $\frac{f''}{g''}$ einen Grenzwert für $x\to 0$. Damit hat nach l'Hospital auch $\frac{f'}{g'}$ einen Grenzwert und erfüllt somit tatsächlich die Voraussetzung für die erste Anwendung der l'Hospital Regel.

Gruß

Comments

1. Alles klar. Muss ich dann bei der Lösung irgendetwas dazu schreiben wegen dem g'(x) ≠ 0? Also z.B. "Wähle a nah genug an 0, sodass gilt g'(x) ≠ 0 für alle x ∈ ]0, a[". Oder ist das nicht wichtig? Bei dieser Funktion kann man es ja nah genug wählen, allerdings gibt es auch Funktionen bei denen das nicht möglich wäre, wenn z.B. an allen Stelle 1/(2·n) für n ∈ ℕ eine Nullstelle vorliegen würde.

2. Achsooo, klar, da hatte ich einen Denkfehler. Ich war ja am Anfang für f und g genau in der gleichen Situation, dass der Quotient auf den ersten Blick keinen Grenzwert besitzt. Aber l'Hospital ist ja genau dafür da, dass man erkennen kann, dass doch einer vorliegt.

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Ups, ist ok, vergess den ersten Teil meines Kommentars. Hatte aus Versehen g' mit g verwechselt.

Danke für deine HIlfe :)

Answer 2

Ich kenne den Satz so, wie man ihn auf Wikipedia findet: https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital#Pr.C3.A4z…

Und da steht, man kann den Grenzwert für $x\to x_0$ berechnen für beliebige Werte von $x_0$ (inklusive $\pm\infty$).

Comments

Ja, das hatte ich gewusst, nur ich dachte, ich dürfte l'Hospital nicht anwenden, wenn nicht alle "Voraussetzungen" für die Funktionen gelten. Allerdings waren dies keine Voraussetzungen, wie ich nun erfahren habe. Die Frage hat sich aber nun dank Yakyu geklärt.

Trotzdem danke :)