Polynomfunktion,Gewichtsverlauf durch Polynom 3.Grades

Question

Katzen haben ein Geburtsgewicht von 100g.Bei weiteren Messungen nach 3, 5 und 8 Wochen ergab sich ein mittleres Gewicht von 400g, 600g und 1Kg.

Approximieren Sie den Gewichtsverlauf durch ein Polynom 3.Grades und berechnen Sie das Gewicht nach 1,2 und 7 Wochen.

Wer weiß Rat?

Answer 1

Hallo Pinki, 

ein Polynom 3. Grades hat die allgemeine Form

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Wir haben gegeben: 

f(0) = 100 = d

f(3) = 400 = 27a + 9b + 3c + d 

f(5) = 600 = 125a + 25b + 5c + d

f(8) = 1000 = 512a + 64b + 8c + d

Daraus ergibt sich: 

a = 75/90 = 15/18 = 5/6

b = -20/3

c = 112,5

d = 100

Die Funktion lautet also

f(x) = 5/6x³ - 20/3x² + 112,5x + 100

Also nach einer Woche: 

f(1) = 5/6 * 1³ - 20/3 * 1² + 112,5 * 1 + 100

Nach 2 Wochen: 

f(2) = 5/6 * 2³ - 20/3 * 2² + 112,5 * 2 + 100

Nach 7 Wochen: 

f(7) = 5/6 * 7³ - 20/3 * 7² + 112,5 * 7 + 100

Diese Werte rechnest Du bitte selbst aus :-)

Besten Gruß

Comments

Hallo Brucybabe,

vielen vielen Dank für deine ausführliche Antwort.Mir ist allerdings noch nicht so ganz klar,wieso die Gleichung so erstellt wird: 

f(3) = 400 = 27a + 9b + 3c + d   --> also f(3)=400 = verstehe ich noch,aber wo kommt die 9 her??

f(5) = 600 = 125a + 25b + 5c + d   --> hier das gleiche wieso 25?

f(8) = 1000 = 512a + 64b + 8c + d --> und wieso 64?

 Mathe war noch nie so meine Stärke :-( Wäre gut,wenn du mir das noch kurz erläutern könntest??

Vielen Dank für deine Bemühungen

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Hallo Pinki, sehr gern geschehen! Und danke für den Stern :-)

Nun zu Deiner Frage: 

Ein Polynom 3. Grades hat ja die allgemeine Form

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

(Die Koeffizienten a, b, c und d kennen wir anfangs noch nicht; später haben wir berechnet, dass

a = 5/6 | b = -20/3 | c = 112,5 | d = 100)

 

Wenn also beispielsweise f(3) = 400 ist, müssen wir in diese allgemeine Form für jedes x die 3 einsetzen: 

f(3) = 400 = a * 3³ + b * 3² + c * 3 + d = a * 27 + b * 9 + c * 3 + d = 27a + 9b +3c + d

Denn schließlich heißt die Funktion ja stark verallgemeinert: f(x) = y

x ist hier 3, y ist hier 400.

 

Wenn wir wissen, dass f(5) = 600 ist, müssen wir ebenso jetzt für jedes x die 5 einsetzen: 

f(5) = 600 = a * 5³ + b * 5² + c * 5 + d = a * 125 + b * 25 + c * 5 + d = 125a + 25b + 5c + d

Bei den anderen Gleichungen verfährt man genauso. 

 

Jetzt ein wenig klarer? Wenn nicht, frag bitte nochmal nach :-)

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Hallo Brucybabe,

ahhh jetzt verstehe ich das,alles klar-jetzt ergibt das ganze auch einen Sinn für mich^^ Nochmal vielen lieben Dank :-)

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Freut mich sehr!

Immer wieder gerne :-)