Ein Tunnel soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten. Wie groß ist die Querschnittsfläche maximal, wenn der Umfang des Tunnels 20m betragen soll.
Meine Hauptbedingung:
A(h,r)= h*2r+1/2π*r2
Die Nebenbedingung:
20=2h+2r+π*r
Bedingung: Die Gleichung soll bei der Nebenbedingung nach r umgeformt werden, nicht nach h.
Ich habe die Nebenbedingung nach r umgeformt und in die Hauptbedingung eingesetzt, um auf die Zielfunktion zu kommen.
Nebenbedingung umgeformt nach der Variablen r:
20= 2h+2r + π*r /-2h
20-2h= 2r + π*r
20-2h= r*(2+π) /:(2+π)
(20-2h)/(2+π) = r
Nebenbedingung in die Hauptbedingung eingesetzt:
h*2*(20-2h/(2+π)) + 1/2*π*((20-2h)/(2+π))2
nochmal geordnet hingeschrieben: 2*h*(20-2h/(2+π))+ 1/2π*((20-2h)/(2+π))2
40h-4h^2/(2+π) + 1/2π*((20-2h)^2/(2+π)2)
= 40 h- 4h^2/(2+π) + 1/2π*(400-80h+4h^2/4+4π+π^2)
= 40 h - 4h^2/(2+π) + 200π-40hπ+2π+2h^2/(4+4π+π^2)
= 40 - 4h/(2+π) + 200-40+2h/(4+4+π2)
= 40-4h+200-40+2h/2+π+4+4+π2
=> das pi im Nenner gekürzt
=200-2h/(10+π)
=100-h/(5+1/2π)
2*h*(20-2h/(2+π))+ 1/2π*(20-2h/2+π))2
40h-4h2/(2+π) + 1/2π*((20-2h)2/(2+π)2
= 40 h- 4h2/(2+π) + 1/2π*(400-80h+4h2/4+4π+π2)
= 40 h - 4h2/(2+π) + 200π-40hπ+2π+h2/4+4π+π2
= 40 - 4h/(2+π) + 200-40+2h/(4+4+π2)
= 40-4h+200-40+2h/2+π+4+4+π2
=> das pi im Nenner gekürzt
=200-2h/(10+π)
=100-h/(5+1/2π)
