Optimierungsprobleme

Question

Die Zahl 60 soll so in zwei Summanden a und b zerlegt werden, dass das Produkt aus dem ersten Summanden und dem Quadrat des zweiten Summanden maximal wird.

Mein Ansatz:

Nebenbedingung: a+b=60

Hauptbedingung: f(a,b)= (a*a)+b^2

Nebenbedingung nach der Variable b aufgelöst in die Hauptbedingung:

=> Meine Gleichung ist nur noch von einer Variablen abhängig:

f(a)= (a*a)+(60-a)^2

f(a)= (a*a)+3600-120a+a^2

f(a)= a^2+3600-120a+a^2

= 2a^2-120a+3600

Ist denn die Zielfunktion ungefähr richtig? Denn danach muss ich doch notwendige Bed. f'(a)=0 und hinreichende Bed.f''(a)≠0

anwenden etc...

Aber wir haben ein Maximum, weil wir es mit einer quadratischen Funktion, einer Parabel, die nach oben geöffnet ist, zu tun haben, oder?

Comments

Mein anderer Vorschlag:

f(a)= a*(60-a)^2

f(a)= a*(3600-120a+a^2)

f(a)= 3600a-120a^2+a^3

= a^3-120a^2+3600a

Answer 1

Mein Ansatz wäre so:

Nebenbedingung:

a+b=60

Hauptbedingung:

f(a,b)=a*b^2

Nebenbedingung nach a auflösen:

a=60-b

Jenes Ergebnis in die Hauptbedingung einsetzten:

f(b)=(60-b)*b^2

f(b)=-b^3+60b^2

Extremwerte:

f(b)=-b^3+60b^2

f'(b)=-3b^2+120b

f''(b)=-6b+120

Notwendige Bedingung:

f'(b)=0

-3b^2+120b=0

b^2-40b=0

b₂=40

b₁=0

Hinreichende Bedingung:

f'(b)=0

f''(b)≠0

f''(b)=-6b+120

f''(0)=120 => Tiefpunkt

f''(40)=-120 => Hochpunkt

=> b=40

a=60-b

a=60-40

a=20

Ergebnisse: a=20 ∧ b=40

Habe ich die Aufgabenstellung so richtig verstanden?

Gruß

Smitty

Comments

Hallo smitty,
alles richtig und ausführlich dargestellt.

Ab hier hätte ich geschrieben
b^2-40b=0

b * ( b - 40 ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
b = 0
und
b - 40 = 0
b = 40

Answer 2

Mein anderer Vorschlag:
f(a)= a*(60-a)2
f(a)= a*(3600-120a+a²)
f(a)= 3600a-120a2+a³
     = a³-120a²+3600a 

Das geht auch:
f '(a) = 3·a² - 240·a + 3600 = 0  | : 3
              a² - 80a + 1200 = 0     (notwendige Bedingung für lokale Extremstellen) 
pq-Formel:  a² + pa + q = 0  ;  p = - 80  ;  q = 1200

\( a_{1,2} = -\frac { p }{ 2 } \pm \sqrt{ \left(\frac { p }{ 2 }\right)^2-q}\)
→  \(a_1= 60\)  ;  \(a_2 = 20 \) 

f "(a) = 6·a - 240  →  f "(60) = 120 > 0  und   f "(20) = -120 < 0  
 
→  Minimum für  a = 20  →  b  =  60 - 20  =  40   

    [ wegen lim_x→±∞ f(a) gibt es keine globalen Randmaxima ]  
 
 Gruß Wolfgang

Answer 3

  Zum Einsatz kommt   " die Verfahrungen "  ( wie mein US Prof das immer formulierte )  von Giuseppe Lodovico Spagettix Pomodoro Lagrangia da Torino. Und zwar notiere ich die Hauptbedingung logaritmisch, um die Rechenstufe  zu erniedrigen:

     P  (  x  ;  y  )  :=  ln  (  x  )  +  2  ln  (  y  )  =  max    (  1a  )

    Nebenbedingung

     S  (  x  ;  y  )  :=  x  +  y  =  const  =  60      (  1b  )

    Den Lagrangeparameter von  ( 1b ) nenne ich k; wir bilden die Linearkombination

   H  (  x  ;  y  )  :=  P  (  x  ;  y  )  +  k  S  (  x  ;  y  )       (  2a  )

   Notwendige Bedingung für Maximum:  Der Gradient von H verschwindet.

     H_x  =  1 / x  +  k  =  0          (  2b  )

    H_y  =  2 / y  +  k  =  0          (  2c  )

( 2b;c )     gleich setzen , um den Dummy  k zu eliminieren

      1 / x  =  2 / y  ===>  y  =  2  x     (  3  )

   Das  LGS  ( 1b;3 )  ist zu lösen.