Extremwertprobleme, Optimierungsprobleme

Question

Die Zahl 12 soll so in zwei Summanden zerlegt werden, dass die Summe der Quadrate der gesuchten Summanden möglichst klein wird.

Mein Ansatz:

Nebenbedingung:  12=x+y

Hauptbedingung:  f(x,y)=x^2+y^2

Nebenbedingung in Hauptbedingung:

f(y)= (12-y)^2+y

= 144-24y+y^2+y

f(y)=y^2-23y+144

f'(y)=2y-23

f''(y)=2

n.B. f'(y)=0

0=2y-23 /+23

23=2y/:2

y=11.5

f''(11.5)=2 > 0 => Minimum

12=x+11.5/ -11.5

x=0.5

Ergebnis: x=0,5, y=11.5

Stimmt das denn so?

ich würde gerne bei der Nebenbedingung haben, dass die Funktion nur noch von der Variable y abhängig ist.

Answer 1

f(y)= (12-y)^2+y^2

Damit sollte deine Methode funktionieren. Ich komme auf x=y=6 .

ich würde gerne bei der Nebenbedingung haben, dass die Funktion nur noch von der Variable y abhängig ist.

Du kannst mE

Nebenbedingung  y= 12-x schreiben und dann 

Zielfunktion z(x) = x^2 + (12- x)^2 

Comments

@Lu: .. Du hast Deinen Fehler bereits korrigiert!

Im Übrigen finde ich es schade, dass anscheinend die Optimierung nach Lagrange nicht mehr gelehrt wird. Zum einen ist es doch recht einfach anzuwenden und zum anderen kommt viel klarer heraus, was eigentlich Sache ist. Was machen die Schüler eigenlich, wenn die NB \(x+y+z=12\) und die HB \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\) lautet?

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Kommt halt drauf an, wie viele Dimensionen überhaupt im Lehrplan Platz haben.

In welchem gymnasialen Profil wurde denn Lagrange früher unterrichtet?

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Hihi! - gute Antwort!

dann möge man doch 'Folgen und Reihen' streichen - das braucht IMHO kein Mensch.

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Woher nimmst du dann den Grenzwertbegriff?

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In welchem gymnasialen Profil wurde denn Lagrange früher unterrichtet?

Gymnasium mathematisch naturwissenschaftlicher Zweig in der Mittelstufe, soweit ich mich erinnere.

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Was bitte sollen diese Fragen? 

https://www.mathelounge.de/541819/folgen-und-reihem-an-2-beschrankt

https://www.mathelounge.de/541811/folgen-und-reihen-beschrankt

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Woher nimmst du dann den Grenzwertbegriff?

.. das geht ohne! Es geht mir nicht darum, den Schüler alles 'korrekt mathematisch' beizubringen. Sondern dass sie was lernen, womit man irgendwann auch mal was anfangen kann. Lagrange habe ich tatsächlich ab und zu mal gebraucht, aber den Grenzwertbegriff nie.

Wenn das im Studium dran kommt, ist das IMHO früh genung. Ich habe Nachhilfe gemacht u.a. für Maurer Meisterschule oder Student Landschaftsarchitekt und was die in Mathe lernen müssen, ist teilweise nur Quälerei. Da wären so ein paar 'Kochrezepte' recht nützlich, aber den Grenzwertbegriff müssen die nicht verstanden haben!

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Was bitte sollen diese Fragen?
https://www.mathelounge.de/541819/folgen-und-reihem-an-2-beschrankt
https://www.mathelounge.de/541811/folgen-und-reihen-beschrankt

... das frage ich mich auch !?

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Wenn du nichts begründest, ist das keine Mathematik. Zumindest eine graphische Vorstellung davon, wie die Ableitung zustandekommt, sollte da schon vorhanden sein, bevor man sie rechnet.

Maurer und Landschaftsarchitekten kommen über ein Gymnasium? Die haben doch eine gute Vorstellungskraft und kaum Probleme sich eine arithmetische oder eine geometrische Folge / Reihe vorzustellen. Gerade im Bereich Arbeitssicherheit ist schon wichtig, dass die rechnen und Dimensionen abschätzen können.

Gymnasium mathematisch naturwissenschaftlicher Zweig in der Mittelstufe, soweit ich mich erinnere.

Das ist natürlich super. Die Aufteilung in Grundlagen-, Schwerpunkt- und Ergänzungsfach, bei der bis zum Abschluss im Grundlagenfach die Klassen aus Leuten mit und ohne Schwerpunkts- / Ergänzungsfach gemischt sein können (abhängig von Schule und Schulort), sorgt halt leider dafür, dass im Schwerpunkt- und Ergänzungsfach nicht zu viel vorweg genommen werden kann.

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Wenn du nichts begründest, ist das keine Mathematik.

Mag sein, aber muss es unbedingt Mathematik sein? Ich kann jemanden das Rechnen mit Brüchen beibringen ohne jemals das Wort Zahlkörper erwähnt zu haben.

Maurer und Landschaftsarchitekten kommen über ein Gymnasium?

Maurer war Haupschule, Landschaftsarchitekt war Fachoberschule. Ableiten war kein Problem - das ging nach Kochrezept. Aber Ungleichungen mit rationalen algebraischen Ausdrücken war schwierig und so Ausdrücke mit \(\sum\) und \(\lim_{x \to 0}\). Die Vorstellungskraft beim Maurer war Spitze, hat ihm aber bei der Mathematik, die sie hatten, nichts genützt. Rechnen konnten beide.

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Mag sein, aber muss es unbedingt Mathematik sein? Ich kann jemanden das Rechnen mit Brüchen beibringen ohne jemals das Wort Zahlkörper erwähnt zu haben.

Wer macht denn den Lehrplan in diesen Ausbildungen und wer unterrichtet dort?

So viele Mathematiker gibt es vermutlich nicht.

Answer 2

Nebenbedingung in Hauptbedingung:
f(y)= (12-y)²+y

Schon die zweite Zeile ist falsch:

f(y)= (12-y)²+y² hätte sie heißen müssen.