Exponentialfunktion: Kolonien

Question

Die Bestände zweier Ameisenkolonien können durch die Funktionen A(t)=5000-2000*e^{-0,2t} und B(t)=5000-3,2*(t-25)^2 erfasst werden.

a) Wann erreich die Kolonie B einen Bestand von 4000 Ameisen?

b)  Wann sind die Kolonien gleich groß?

c) Wann ist Kolonie A doppelt so groß wie Kolonie B?

d) Wie entwickelt sich die Kolonien langfristig? Wo liegt die Gültigkeitsgrenze von Modell B?

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Vom Duplikat:

Titel: Exponentialfunktionen: B(t)= 5000-3,2*(t-25)^2

Stichworte: exponentialfunktion,funktion,linear,oberstufe,gleichungssystem,gleichung,pq-formel,umformen

B(t)= 5000-3,2*(t-25)^2

a) Wann erreich die Kolonie einen Bestand von 4000 Ameisen?

Mein Ansatz: 5000-3,2*(t-25)^2 = 4000

Beim umformen kam bei mir das hier raus: t^2+15,63-117,19=0  raus. Ist das richtig?

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richtig wäre

t^2 - 50·t + 312,5 = 0

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Hallo Sarah,

Ich würde so spontan mal sagen, dass das keine Exponentialfunktion ist, da im Exponenten nicht die abhängige  Variable steht.

Gruß

Answer 1

\(A(t) = 5000 - 2000\cdot\text{e}^{-0,2t}, \quad B(t) = 5000 - 3,2\cdot{(t-25)}^2\)

Zu a): Wann erreicht die Kolonie B einen Bestand von 4000 Ameisen?

Das ist zu den Zeitpunkten \(t\) der Fall, an dem \(B(t) = 4000\) ist.

[spoiler]

\(\begin{aligned}B(t)=4000 &\Longleftrightarrow 5000 - 3,2\cdot{(t-25)}^2 = 4000 \\ &\Longleftrightarrow 3,2\cdot{(t-25)}^2 = 1000 \\ &\Longleftrightarrow t-25 = \pm\sqrt{312,5} \\ &\Longleftrightarrow t = 25\pm\sqrt{312,5}\\ &\Longrightarrow t \approx-7,32\quad\vee\quad t\approx 42,68 \end{aligned}\)

Die gesuchten Zeitpunkte sind demnach:

\(t_1\approx 7,32\)

\(t_2\approx 42,68\)

[/spoiler]

Zu b): Wann sind die Kolonien gleich groß?

Das ist zu den Zeitpunkten \(t\) der Fall, an dem \(A(t) = B(t)\) ist.

[spoiler]

\(A(t)=B(t)\)

\(5000 - 2000\cdot\text{e}^{-0,2t} = 5000 - 3,2\cdot{(t-25)}^2\)

Das ist keine Gleichung die man einfach so nach \(t\) auflösen kann. Numerisch erhält man folgende Lösungen:

\(t_4 = 0\)

\(t_5 \approx 22,32\)

\(t_6\approx26,73\)

[/spoiler]

Zu c): Wann ist Kolonie A doppelt so groß wie Kolonie B?

Das ist zum Zeitpunkt \(t\) der Fall, an dem \(A(t) = 2\cdot B(t)\) ist.

[spoiler]

\(A(t)=2\cdot B(t)\)

\(5000 - 2000\cdot\text{e}^{-0,2t} = 2\cdot\left(5000 - 3,2\cdot{(t-25)}^2\right)\)

Auch das ist keine Gleichung die man einfach so nach \(t\) auflösen kann. Numerisch erhält man folgende Lösungen:

\(t_7 \approx 52,95\)

[/spoiler]

Für die langfristige Entwicklung sollte man den Grenzwerte für \(t\to\infty\) untersuchen.

[spoiler]

\(\lim_{t\to\infty}A(t)=\lim_{t\to\infty}\left(5000 - 2000\cdot\underbrace{\text{e}^{-0,2t}}_{\to0}\right)=5000\)

Der Bestand A steigt und nähert sich \(5000\) für \(t\to\infty\).

Bestand B wird durch eine quadratische Funktion mit Scheitelpunkt bei \((t, B(t)) = (25, 5000)\). Der Bestand \(B\) wächst demach von \(3000\) bei \(t = 0\) zunächst bis auf \(5000\) bei \(t = 25\) an. Danach sinkt der Bestand B, bis er bei einem Zeitpunkt \(t=t_8\approx64,53\) den Wert \(0\) erreicht. Langfristig gesehen würde die durch Modell B beschriebene Ameisenkolonie demnach verschwinden.

Die Gültigkeitsgrenze von Modell B kann man nicht genau ziehen. Denn man kann nicht ohne Kenntnis der Ameisenkolonie sagen, ob das Modell die Wirklichkeit beschreibt oder nicht. Ich gehe jedoch davon aus, dass der Aufgabensteller sich das so gedacht hat, dass bei der Nullstelle \(t_8\approx64,53\) die gesuchte Gültigkeitsgrenze sein soll. Denn für \(t > t_8\) wird \(B(t)\) negativ. Und ein negativer Wert für den Bestand einer Ameisenkolonie macht nicht viel Sinn.

Nebenrechnung: Berechnung des Zeitpunktes \(t_8\).

\(\begin{aligned}B(t)=0 &\Longleftrightarrow 5000 - 3,2\cdot{(t-25)}^2 = 0 \\ &\Longleftrightarrow 3,2\cdot{(t-25)}^2 = 5000 \\ &\Longleftrightarrow t-25 = \pm\sqrt{1562,5} \\ &\Longleftrightarrow t = 25\pm\sqrt{1562,5}\\ &\Longrightarrow t \approx-14,53\quad\vee\quad t\approx 64,53 \end{aligned}\)

[/spoiler]

Comments

Ich hätte eine Frage zu Latex-Edition:

Was hast du eingegeben, um so eine geschweifte Klammer unter $${e}^{-0,t}$$ und wie kann man die Editionen mit in den Text schreiben, also, dass keine Absätze entstehen?

Eine  schöne Antwort.

Gruß

Smitty

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Smitty,

Rechtsklick auf das LaTeX-Werk dann auf  --> zeige mathematischen Audruck als --->  TeX-Befehle

Dort siehst du folgenden Ausdruck:

\underbrace{\text{e}^{-0,2t}}_{\to0}

$$\underbrace{\text{e}^{-0,2t}}_{\to0}$$$$\underbrace{2+3+2}_{7}$$

Und auch von Mir, eine sehr schöne Antwort!

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Vielen Dank Anton. Den Trick mit dem Rechtsklick kannte ich noch nicht

Answer 2

a)

5000 - 3.2·(t - 25)^2 = 4000

- 3.2·(t - 25)^2 = -1000

(t - 25)^2 = 312.5

t - 25 = ± √312.5

t = 25 ± √312.5

t1 = 7.32

t2 = 42.68

Comments

Die Gleichung hat doch 2 positive Lösungen:

t₁  ≈ 42,68  ;  t₂  ≈ 7,32

---

Könnte Sie mir auch bei dieser Aufgabe helfen?

b) Wann sind die Kolonien gleich groß?: 5000-2000*e^{-0,2t}=5000-3,2*(t-25)^2

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Hallo sarah01,
Tip :
wenn du die Frage als neue Frage einstellst
erhöhst du die Anzahl möglicher Antwortgeber
beträchtlich.

---

5000 - 2000·e^{- 0.2·t} = 5000 - 3.2·(t - 25)^2

Das kann man nur näherungsweise lösen z.b. grafisch

~plot~ 5000-2000*exp(-0.2*x);5000-3.2*(x-25)^2;[[0|30|2800|5200]] ~plot~

t1 = 0

t2 = 22.32

t3 = 26.73

---

Die Gleichung hat doch 2 positive Lösungen:
t1  ≈ 42,68  ;  t2  ≈ 7,32

Danke für die Korrektur.

Hallo sarah01,
Tip : wenn du die Frage als neue Frage einstellst erhöhst du die Anzahl möglicher Antwortgeber beträchtlich.

Allerdings riskiert sie auch einen Rüffel von mir weil es schöner ist zusammenhängende Fragen auch zusammenhängend zu stellen.

Es ist immer schön alle Frageteile die zu einer Aufgabe gehören auch wirklich in einer Frage zu behandeln.

Schöner ist es jedoch wenn ein Schüler eh mit mehreren Teilen Probleme hat diese dann auch zusammenhängend zu stellen.

Answer 3

a)

5000 - 2000·e^{- 0.2·t} = 5000 - 3.2·(t - 25)^2

Das kann man nur näherungsweise lösen z.b. grafisch

~plot~ 5000-2000*exp(-0.2*x);5000-3.2*(x-25)^2;[[0|30|2800|5200]] ~plot~

t1 = 0

t2 = 22.32

t3 = 26.73

Comments

b)

5000 - 2000·e^{- 0.2·t} = 2 * (5000 - 3.2·(t - 25)^2)

Lösen mit Näherungsverfahren oder Grafisch

t = 52.95

c)

A ist streng monoton steigend und nähert sich dem Grenzbestand von 5000.

B nimmt bis t = ca. 64.53 auf Null ab. Ab dann ist die Funktion nicht mehr gültig.

Answer 4

 Oh bezaubernde Sarah;

    Frage b) lässt sich beantworten mittels der  ===>  Lambertschen W-Funktion;  das Internet quilt über von Übungen zu dem Tema  "  W  "  (  Ich hab vorher bei Wolfram gespickt. )

   2 ^ 4 * 5 ² * 5 exp ( -  1/5  t  ) = 1/5 * 2 ^ 4 ( t - 25 ) ²   ( 1a )

    5  ^ 4  exp ( -  1/5  t  )  =  (  t  -  25  )  ²    |  sqr     ( 1b )

   Wenn wir jetzt die Wurzel ziehen, haben wir ein ernstes Problemm, das so in der Schule völlig unbekannt ist.  Nehmen wir links immer die positive Wurzel aus der e-Funktion;  dann hängt es davon ab,  ob  ( t - 25 ) positiv oder negativ ist, wann die rechte Seite positiv heraus kommt.  Untersuchen wir zunächst den Fall      t  <  25

      25  exp  (  -  1/10  t  )  =  25  -  t     |   *  exp  ( ... )     (  2a  )

      Die Strategie, ein vollständiges W zusammen zu bekommen, entspricht im Wesentlichen der quadratischen Ergänzung; die e-Funktion muss mit dem linearen Faktor zusammen gebracht werden.

   (  25  -  t  )  exp  (  1/10  t  )  =  25    |  *  (  -  1/10  )   (  2b  )

     Der Koeffizient wird an den Exponenten angepasst

   ( 1/10 t - 5/2 ) exp ( 1/10 t ) = (  -  5/2  )   |  *  exp  (  - 5/2 )  ( 2c )

      Der Exponent wird an den Offset angepasst

   ( 1/10 t - 5/2 ) exp ( 1/10 t - 5/2 ) = - 5/2 exp ( - 5/2 )   |  W    ( 3a  )

     Und - oh Wunder -  wie von Hauberzand  haben wir auch auf der rechten Seite von ( 3a )  ein vollständiges W beisammen.

    1/10  t  -  5/2  =  (  -  5/2  )  ===>  t1  =  0   (  3b  )

    Wir haben also verstanden, dass beide  Ameisen den selben Startwert haben; das ist nicht trivial.

   Aber freu dich nicht zu früh; gleich Plus / Minus Wurzel  ist die W-Funktion zweideutig für negative Argumente so wie hier.  In  ( 3b ) haben  wir den  Nebenwert W1 der W-Funktion

   ( Den erkennst du daran, das er gegen ( - °° ) geht, wenn das Argument der W-Funktion gegen ( - 0 ) geht. )

   (  Dagegen der Hauptwert  W0 geht eben Falls gegen ( - 0 ) )

   1/10  (  25  -  t2  )  =  |  W0  [  -  5/2  exp  (  -  5/2  )  ]  |  (  3c  )

    Ich erkühne mich anzunehmen, dass der W-Wert in ( 3c )  nicht elementar und ===>  transzendent ist.

  Minuszeichen darfst du nie verstecken, in ( 3c ) gleich gar nicht.  In jedem Fall muss es heißen  "  W  BETRAG "  ;  der Wert der W-Funktion selbst ist ja negativ. ( Wir erinnern uns an das Vorzeichen von ( 2a ) )

   Nach Wiki gilt übrigens die Taylornäherung W ( x ) = x ;  eine Abweichung von 3 % .

   Und jetzt suchen wir die Lösung t3 > 25 .  Diesmal haben wir in ( 2b ) einen Vorzeichendreher, so dass die zu ( 3c ) analoge Lösung lautet

1/10  (  t3  -  25  )  =  W  [  5/2  exp  (  -  5/2  )  ]  |  (  4  )

          In ( 4 )  hast du kein vollständiges W mehr.

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   A Propos Ameisen.    Auf welche Comicfigur stehst du? Ich Lupo, Fix & Foxy und -  Yogibär. Gibt es die alten Trickfilme noch in der Videotek?

   " Ich bin bedeutend klüger als ein Durchschnittsbär ... "

   Die Rahmenhandlung ist immer die selbe.  Yogi ist beheimatet im Yellowstonepark und versucht die Picknickkörbe der Touristen auszurauben

   ( Wirkliche Bären tun das auch;  das kam mal im Fernsehen. Das war soo süß. )

   Yogis Gegenspieler ist " Ranger Smith "  , in der deutschen Übersetzung der " Förster "  Und Yogi ist einfallsreich; seinem kleinen Freund, dem etwas treu-doofen " Booboo " , erläutert er beispielsweise,  in einer Blechdose befänden sich " dressierte Picknick-Ameisen  "  ,  Abkürzung  "  Pickmeisen "  Öffnet Yogi die Dose, so marschieren diese lieben Tierchen los; und niemand kann Yogi nachweisen, dass sie das Futter eigentlich für ihn einsammeln ...

    Deshalb wollte ich es erwähnen - wegen den Ameisen.

    Booboo ist immer der mit dem Moralischen;  wie der schon guckt. Dazu seine näselnde Stimme;  die wirkt so bissele  " nerd "

   " Yogi; warum setzt du dich all den Fährnissen aus?  Unsere Vorfahren begnügten sich doch auch mit Nüssen und Beeren. "

   "  Siehst doch, was sie davon haben; jetzt sind sie alle tot ...  "

   Dann auf einmal gibt ein leibhaftiger Zauberer in Yellowstone sein Gastspiel. Für  10 $ die Stunde zaubert er dich unsichtbar. DIE Gelegenheit für Yogi; 20 $ , und beide, er und Booboo, sind nicht mehr zu sehen.

    Natürlich verschwitzt Yogi die Ermahnung, nach einer Stunde sei eine Nachzahlung fällig.  Einen Rabatt von 5 min gewährt ihm der Zauberer noch; dann

   " Yogi und Booboo; wo immer ihr seid. Werdet wieder sichtbar. "

    Yogi schlägt dem Förster mit der flachen Hand auf den Dez;  Booboo schwant Böses ...  Der Förster vergilt Gleiches mit Gleichem.

   " Woher weiß der Förster denn auf einmal, wo ich bin?  Lauf Booboo !!! "

   Szenenwechsel;   a Propos Yogi. Unser Nachbar Fritz Rossner war schon 1928 aus ===> Pösneck in der DDR geflohen. Besonderes Kennzeichen: Er nieste nicht " Hatschi "  , sondern  "  Peia " , was dann begreiflicher Weise sein Spitzname wurde.  Mit  45 wurde er Frührentner;  das Bundesarbeitsgesetz untersagt Peia Niesen am Arbeitsplatz ...

   In Kl. 2   hatten wir im Lesebuch übrigens die Geschichte von " den Leuten, die komisch niesen. " Hawuscha z.B. oder Hamikosch; nur Peia war nicht darunter ...

      Mein Daddy, Spitzname " Leo " , hielt uns Kinder übrigens nach Kräften an, Peia zu niesen ( und lebte es uns auch  vor. )  Da zog er aber den Kürzeren;  der Peia setzte ein höchst richterliches Urteil durch, wonach es den Tatbestand der Beleidigung erfüllt, eine BELIEBIGE Person als " Peia " anzusprechen -  also sieh dich vor ...

  Sieh halt in der Juris Datenbank nach.

   Was ich definitiv weiß;  Homer berichtet ja, dass Odysseus die Seehunde befragen sollte.  Denn diese seien äußerst weise Tiere, die die Zukunft wissen. Daran ist so viel wahr, dass im ZDF  die  ganzen Seehunde, die durch die Eislöcher zum Luft Holen nach Oben kamen, alle riefen

   " Peia ! Peia !! Peia !!! "

    Peia hatte auch einen ===> Dalmatiner; " Eppo v. Eppstein  "  Der hat Frauchen immer ins Bein gebissen - obwohl das verstehe ich jetzt nicht.  Kinder kommen doch, wenn der Storch Frauchen ins Bein beißt und nicht der Eppo ...

   Ich war Elf; und da hatte ich auf einem Londonurlaub bei Hamleys - " the world's greatest toy store "  eine aufblasbare Gummipuppe bemerkt: Yogibär.  Die dümpelte immer so lustig in der Waschbütte. Und nachts stellten wir ihn auf die Terrassenmauer;  pass schön auf den Peia auf, dass der keinen Unsinn macht ...

   Zwischen Peia und Leo herrschte ja Kriegszustand; eine richtig gehende Gartenzwergneurose.  Und da brüllte der Peia eines Tages in der Wut

   "  Was guckt denn dieses Gummischwein immer hier herüber? "

    Anzeige gegen den Leo wegen Beleidigung;   der Leo habe sich  dahin geäußert, er Peia, sei ein " Gummischwein  " ...

   Beleidigungssachen kommen immer vor den Schiedsmann; Leo

  " An der Trinkhalle von Frau Geiger gibt es Yogibär Comics zu kaufen;   Herr Rossner erkennen Sie meinen Beweisantrag an? "

    " ja "

   Der Schiedsmann zum Leo

   "  Herr T ich kann Sie zu nichts zwingen.  Aber würden Sie nicht im Sinne des gutnachbarlichen Einvernehmens dieses Yogischwein wieder runter nehmen? "

    " Dieses Yogischwein ist kein Yogischwein, sondern ein Yogibär und bleibt stehen ... "

      Zum ersten Mal wurde mir klar: Dieser Peia ist ein Psychopat

   ( Ein früheres Vorkommnis verstand ich erst später; s.u. )

      Peia beauftragte Handwerker  ( Dekorateure? ) gegen Bezahlung,  in seinem Garten eine Wäscheleine zu ziehen, an der als Sichtschutzblende gegen den Yogi so grüne Plastiklamellen befestigt waren, die auissahen  wie Strümpfe aus Leder, die man zum Trocknen auf die Leine gehängt natte ...

   Leo, der von Beruf Ingenieur war und ein Geschäft hatte, ließ sich nicht lumpen. Man kann ja gegen ihn sagen, was man will - nur eines nicht. Er sei kein genialer Konstrukteur gewesen.

   Aus Stahlrohren schweißte er einen Hochsitz, derr an der Terrassenmauer fest genietet war; und hoch oben setzte er den Yogi, damit der über den strumpdzaun drüber guckt ...

   Ich war schon 40;  mindestens. Aktion ===>  Freddy Quinn

  ===>    " Es kommt der Tag "

   In RTL  trat mal eine Mannschaft auf, die uns erklärte, wie Gummisex funktioniert.  Und   da machte ich gegenüber Leo nur eine beiläufige Bemerkung

   " Hier seit ich das gesehen hab, habe ich so ein unbestimmtes Gefühl, der Peia ist auf dem Gummisex Trip ... "

   Und der Leo erschrak; eine solche Reaktion hatte ich bei ihm noch nie bemerkt.

   "  Du bist längst alt genug zu begreifen, was eine eidesstattliche Zeugenaussage ist.   Doch; ES IST WAHR .

   Du beziehst dich hier auf etwas, was dich TRAUMATISIERT HAT . Drei Jahre alt warst du damals.

   Und ich habe die damaligen Geschehnisse genau verfolgt.  es ist aber keine Zeugenaussage, wenn du heute her gehst und im Nachhinein etwas berichtest, was du damals noch gar nicht verstehen konntest.

   Darum UNTERSAGE ich dir, nochmal darüber zu sprechen ... "

   Meist ist ja die Schuld zwischen den Streithähnen ziemlich gleich verteilt;  aber hier bin ich wirklich geneigt, dem Peia die Alleinschuld zu geben.

    so Acht werde ich gewesen sein. Da erstan der Peia in einer Witzartikelhandlung ein Schild; und  er fühlte sich bemüßigt, das selbe in beleidigender Absicht  für uns gut einsehbar an seiner Veranda anzubringen. es besagte

   " HERR VERGIB IHNEN; DENN SIE WISSEN NICHT,  WAS SIE TUN. "

    Damals wirkte Leo auf mich sehr nachdenklich; ausdrücklich holte er meine Meinung ein, was man da tun solle.

    " Ei nix "

   lautete meine lapidare Antwort.  Mir war sehr wohl bewusst, dass dies ein Bibelspruch ist;  aber die Bibel ging mir voll am Aaasch vorbei. Was ich als Kind noch nicht so auf die Reihe kriegte: Dieses Schild besagt ja gerade nicht, dass uns der Peia für Idioten hält.   Sie sind ja allgemein verbreitet, jene Irrenhauswitze, wo am Schluss heraus kommt, dass sich der Irrenhausdirektor für den Allmächtigen hält.

   Dieses Schold besagt, dass sich dieser kleine dumme beschränkte spießige Kleingärtner Peia für DEN ERLÖSER HÄLT .

   Denn siehe; ich künde euch ein Geheimnis.  wenn der Herr Zebaoth bläst in seine Niespulverdose, dann wird Fritz Rossner, sitzend zur Rechten Gottes, sein Peia erschallen lassen unter den Himmeln.

   Und noch ehe das dritte Peia verklungen ist,  werden die Totenaufgeweckt; die einen zur Auferstehung des Lebens und der Leo zur Auferstehungf des Gerichts ...