Es gibt die Formel
\(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\cdot\text{adj}(A)\),
wobei \(\text{adj}(A)\) die Adjunkte zu \(A\) bezeichnet.
Ich denke, dass diese Formel gemeint ist.
Im Fall einer \(2\times 2\)-Matrix erhält man so
\(\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{a d- b c}\cdot\begin{pmatrix}d & - b \\ -c & a\end{pmatrix}\),
wobei \(a d - b c\) die Determinante ist.
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\(A = \begin{pmatrix}-4 & 8 \\ -6 & 7\end{pmatrix}\)
\(\det(A) = 20\)
\(\text{adj}(A) = \begin{pmatrix}7 & -8 \\ 6 & -4\end{pmatrix}\)
\(A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\cdot\text{adj}(A) = \frac{1}{20}\cdot\begin{pmatrix}7 & -8 \\ 6 & -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{7}{20} & \frac{-8}{20} \\ \frac{6}{20} & \frac{-4}{20}\end{pmatrix}\)
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\(B = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sqrt{3}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\)
\(\det(B) = 1\)
\(\text{adj}(B) = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\)
\(B^{-1}=\frac{1}{\det(B)}\cdot\text{adj}(B) = \frac{1}{1}\cdot\text{adj}(B) = \text{adj}(B) = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\)
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