Wie kommt man von U5 zu Un? (Untersumme)

Question

Wie kommt man von irgendeiner Funktion (Beispiel) von der Untersumme von U5 zu Un? Wie kann man Un mit dem lim -> infinity annähern?

Fängt man bei der untersumme IMMER bei U5 = 1/5 * f(0) an? Also ist es immer f(0) bei der Untersumme am Anfang? Oder kann es auch mal f(1) sein?

Ist es bei der Ober Summe immer f(1)?

Answer 1

Die Untersumme U_n= 1/n[f(0)+f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+...+f((n-1)/n)]. Den Limes n→∞ kann man nur dann finden, wenn man f kennt und umformen kann (z.B.mit Hilfe einer Formelsammlung).

Comments

Wie würde dies gehen?

F ist ja x+1

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f(0)=1; f(1/n)=(n+1)/n; f(2/n)=(n+2)/n; f(3/n)=(n+3)/n; ...

U_n=1/n²·[1+(n+1)+(n+2)+(n+3)+ ...]

Jetzt umformen und Summe laut Formelsammlung ersetzen.

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Wie sind Sie dazu gekommen? Könnten Sie mir das etwas ausführlich erklären?

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Wie kann man das für jede Funktion machen?

Wenn Sie mir das irgendwie erklären können oder einen Link geben können, bin ich Ihnen sehr dankbar! ;)

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Nachhilfeunterricht gestaltet sich in diesem Forum recht schwierig.

Vielleicht hilft dir: http://www.feuerbachers-matheseite.de/OberUntersumme.pdf

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Klar, das kann ich natürlich verstehen.

Ich habe es für f(x)=x^2 verstanden, jedoch verstehe ich es noch nicht ganz, wie man es bei einer anderen Funktion machen würde e.g. f(x)=-0,25x^2+1

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"Ich habe es für f(x)=x² verstanden, jedoch verstehe ich es noch nicht ganz, wie man es bei einer anderen Funktion machen würde e.g. f(x)=-0,25x²+1?"

Wenn du es für f(x)=x² vestanden hast,solltest du als erstes überlegen, wie das für f(x)=-x² aussehen würde. Der einzige Unterschied ist jetzt, dass alle Rechteckshöhen nach unten gehen, also negativ sind. Jeder Summand hat also ein negatives Vorzeichen, das man ausklammern kann. Alles bleibt dann genau so,wie bei f(x)=x², nur, dass ganz vorn ein negatives Vorzeichen steht.

Als nächstes überlegt man sich: Was passiert eigentlich bei f(x)=k·x² für einen reellen, konstanten Faktor k? Nun werden alle Rechteckshöhen k-mal so groß. (Für 0<k<1 verkleinern sich alle Rechteckshöhen.) Damit wird auch die Untersumme k-mal so groß (oder so klein).

Schließlich überlegt man sich: Was passiert eigentlich bei f(x)=x²+c für einen reellen, konstanten Summanden c? Jetzt rutscht die obere Randkurve für c>0 um c nach oben und auf den Intervall [0,b] kommt ein Rechteck der Fläche c·b hinzu.

Die Untesumme für dein Beispiel f(x)= - 0,25x²+1 kann man also in drei Schritten aus der Untersumme für f(x)=x² entwickeln:

1. Über dem Intervall [0,b] kommt ein Rechteck der Größe 1·b hinzu.

2. Die Untesumme für f(x)=x² wird mit den Faktor 0,25 multipliziert.

3. Das Ergebnis unter 2. wird vom Ergebnis unter 1. subtrahiert.

Answer 2

Nehmen wir an du möchtest die Untersumme im Intervall [0 ; 1] bilden über die Funktion f(x)

Ist die Funktion monoton steigend dann nimmst du

Σ (k = 1 bis n) (1/n * f((k - 1)/n))

Ist die Funktion monoton steigend dann nimmst du

Σ (k = 1 bis n) (1/n * f(k/n))

Comments

Wie ändert sich das im Intervall von [1;3]

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Nehmen wir an du möchtest die Untersumme im Intervall [a ; b] bilden über die Funktion f(x)

Ist die Funktion monoton steigend dann nimmst du

Σ (k = 1 bis n) ((b - a)/n * f(a + (k - 1)*(b - a)/n))

Ist die Funktion monoton fallend dann nimmst du

Σ (k = 1 bis n) ((b - a)/n * f(a + k*(b - a)/n))

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Was genau ist k?

Ist monton steigend f(x)=x und monton fallend f2(x)=-x? Ich hatte Mathe in der siebten und achten auf Englisch. ;) - deshalb gelegentlich die Verwirrungen

Würde es für das erstere so aussehen:

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Wenn die Aufzeichnung falsch ist, wie sieht es richtig auf Papier aus?

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Das ist so richtig. k ist der Zähler für die Rechtecke. k = 1 zählt also das erste Rechteck auf der linken Seite und k = n zählt das n. Rechteck auf der ganz rechten Seite.

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Wie würde die Rechnung für f(x) = x+1 mithilfe des Summenzeichens zwischen (0;3) aussehen?

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x + 1 ist streng monoton steigend. Also solltest du jetzt selber wissen wie das aussehen kann. Du brauchst ja nur einsetzen.

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Würde das so aussehen?

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Was soll ich für n einsetzen?

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Σ (k = 1 bis n) ((b - a)/n * f(a + k*(b - a)/n))

∑ (k = 1 bis n) ((3 - 0)/n·f(0 + (k - 1)·(3 - 0)/n))

= ∑ (k = 1 bis n) (3/n·f((k - 1)·3/n))

= 15/2 - 9/(2·n)

Für n = 5
15/2 - 9/(2·5) = 6.6

Für n --> ∞
15/2 = 7.5

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Wie sind Sie von der zweiten Zeile zur dritten Zeile gekommen?

Und oben schreiben Sie zwei Mal „ist die Funktion monton steigend“ - wo ist der Unterschied?

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Wie sind Sie von der zweiten Zeile zur dritten Zeile gekommen?

Nur ein paar überflüssige Nullen gestrichen.

Und oben schreiben Sie zwei Mal „ist die Funktion monton steigend“ - wo ist der Unterschied?

Das eine musste fallend lauten. Hab das oben korrigiert.