Braucht man bei der bestimmung der Funktionsgleichung die binomische Formel?

Question

Braucht man die binomische Formel? Ich komme auf das  selbe Ergebnis auch ohne?

In welcher Form das Endergebnis schreiben?

Die Funktionsgleichung lautet demnach: \( y = \frac{1}{3}x^2 - 2 \)

oder 

Die Funktionsgleichung lautet demnach: \( y = 3(x-3)^2 - 5 \)

Comments

Die beiden, von dir angegebenen Funtkionsgleichungen sind nicht dieselben.

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Mir geht es jetzt nicht um die Zahlen sondern erstens ob man die binomische Formeln braucht und bei den anderen zwei Bildern wie man dann sein Endergebnis aufschreibt. Das erste ist ja in der Scheitelpunktform geschrieben, die zweite in der Ausgangsform glaube ich? Ich versteh halt nicht, ob das egal ist oder nicht. Mir ist klar das es verschiedene Funktionsgleichungen sind :)

Oder gibt die eine Version die Verschiebung an und die andere ist die Gleichung dazu?

Answer 1

Hallo Hazel,

Ich gehe jetzt einmal davon aus das du, wie in deinem Beispiel einen Scheitelpunkt und Punkt hast. Der Scheitelpunkt sei \(S(3|2)\) und der Punkt \(P(2|4)\). Du hast die Scheitelpunktform schon auf deinem Bild \(f(x)=a(x-d)^2+e\). Du kannst nun, wie du schon gut in deinem Beispiel gemacht hast die Punkte einsetzen:$$4=a(2-3)^2+2$$ Du kannst jetzt ganz einfach wie das bei dir schon gemacht hast, nach \(a\) auflösen und erhältst für \(a=2\) Die normale Funktionsgleichung ist \(f(x)=ax^2+bx+c\). In den Aufgaben wird auch meiner Ehrfahrung nach erwartet, dass du diese auch angibst. Du musst also die Binomischen Formeln anwenden:\(f(x)=2(x-3)^2+2\) wird dann zu \(f(x)=2x^2-12x+20\).

Es gibt aber keinen Unterschied zwischen den beiden! Mit dem Unterschied, dass man bei dem einen sofort den Scheitelpunkt ablesen kann.

Comments

Du kannst jetzt ganz einfach wie das bei dir schon gemacht hast, nach a auflösen und erhältst für a=1.

Im Beispiel oben erhält man für a gut sichtbar 2 und nicht 1.

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Schon verbessert seit einigen Minuten

Answer 2

Scheitelpunktform mit Scheitelpunkt aufstellen

f(x) = a * (x - 3)^2 + 2

Nun die Kenntnis des Punktes P benutzen um a zu bestimmen

f(2) = a * (2 - 3)^2 + 2 = 4

a * (-1)^2 = 2

a = 2

Also hat man die Funktion

f(x) = 2 * (x - 3)^2 + 2

Die binomische Formel brauchte man nicht benutzen. Höchstens wenn ich jetzt zur allgemeinen Funktionsgleichung ausmultiplizieren möchte. Aber das muss man ja nicht.

Comments

Ist es aber nicht so, dass in Schulaufgaben oft nach der Funktionsgleichung gefragt wird?

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Auch die Funktion in Scheitelpunktform ist eine Funktionsgleichung.

Solange nicht eine explizite Form verlangt wird kannst du die Form benutzen die dir gefällt.

Und dann würde ich die einfachste nehmen.

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Beispiel

Wie lautet die Funktionsgleichung einer nach oben geöffneten verschobenen Normalparabel mit den Nullstellen bei 1 und 10.

f(x) = (x - 1)(x - 10)

Thats it. Ich muss es nicht in die allgemeine Form bringen.

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Ich glaube ich habe es jetzt verstanden, vielen Dank ihr beiden!

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No problem! Gerne wieder

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Nochmal zu den Funktionsgleichungen der quadratischen Funktion. Es gibt unter anderem:

Allgemeine Form	f(x) = ax^2 + bx + c
Scheitelpunktform	f(x) = a * (x - Sx)^2 + Sy
Faktorisierte Form	f(x) = a * (x - N1) * (x - N2)

Siehe auch: https://www.matheretter.de/wiki/quadratische-funktionen#formeln

Welche Form man benutzt und in welcher das Ergebnis notiert wird bleibt jedem selber überlassen, es sei denn es wird etwas in der Aufgabe oder vom Lehrer vorgeschrieben.

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Okay, ich denke mal es wird dann auch deutlich gefragt bei der Prüfung was genau und in welcher Form sie es haben wollen.

Ich hätte jetzt doch noch eine Frage un zwar wie genau racine_carrée von f(x)=2(x - 3)² +2 auf f(x)=2x² - 12x +20 gekommen ist. Ich habe verstanden das die binomische Formel da benutzt wurde aber könnte ich die Rechnung einmal ganz sehen um es besser nachvollziehen zu können?

Sonst habe ich alles andere verstanden, vielen Dank♥

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Du kennst doch bestimmt, die zweite Binomische Formel, oder nicht? Diese besagt, dass \((a-b)^2\) zu \(a^2-2ab+b^2\) wird.

Gucken wir uns das bei deinem Beispiel mal genauer an:

f(x)=2(x - 3)^2  +2 Binomische Formel von oben x=a und 3=b

f(x)=2(x^2-6x+9)+2 Dann ausmultiplizieren

f(x)=2x^2-12x+18+2

f(x)=2x^2-12x+20

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f(x) = 2(x - 3)^2 +2

f(x) = 2(x^2 - 6x + 9) + 2

f(x) = 2x^2 - 12x + 18 + 2 

f(x) = 2x^2 - 12x + 20

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Oh ok, jetzt kann ich es besser nachvollziehen!

Dankeschön♥

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No problem und viel Glück bei deiner Prüfung!