(a)
Behauptung:
Für alle \(k\in\mathbb{N}\) ist \[\sum_{n=1}^{k} (a_n - a_{n+1}) = a_1 - a_{k+1}\text{.} \]
Beweis der Behauptung durch vollständige Induktion:
[spoiler]
IA: k = 1
\[\sum_{n=1}^{1} (a_n - a_{n+1}) = a_1 - a_{1+1} \]
IV:
Für ein \(k\in\mathbb{N}\) sei bereits \[\sum_{n=1}^{k} (a_n - a_{n+1}) = a_1 - a_{k+1} \] gezeigt.
IS:
Für das \(k\) aus IV ist
\[\begin{aligned}\sum_{n=1}^{k+1} (a_n - a_{n+1}) &= \sum_{n=1}^{k} (a_n - a_{n+1}) + a_{k+1}-a_{k+1+1}\\&\stackrel{\text{IV}}{=}a_1 - a_{k+1}+a_{k+1}-a_{k+1+1} = a_{1} - a_{k+1+1}\text{.}\end{aligned}\]
[/spoiler]
Damit ist äquivalent: \[\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty} (a_n -a_{n+1})\text{ konvergiert }\quad &\Longleftrightarrow \left(\sum_{n=1}^{k} (a_n -a_{n+1})\right)_{k\in\mathbb{N}}\text{ konvergiert} \\&\Longleftrightarrow\quad (a_1-a_{k+1})_{k\in\mathbb{N}}\text{ konvergiert} \\&\Longleftrightarrow\quad (a_{k+1})_{k\in\mathbb{N}}\text{ konvergiert} \\&\Longleftrightarrow\quad (a_{n})_{n\in\mathbb{N}}\text{ konvergiert} \end{aligned}\]
Und im Fall der Konvergenz ist: \[\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty} (a_n -a_{n+1}) &= \lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{k} (a_n -a_{n+1}) \\& = \lim_{k\to\infty}(a_1-a_{k+1}) \\&= a_1 - \lim_{k\to\infty}a_{k+1} \\& = a_1 - \lim_{n\to\infty} a_{n} \end{aligned}\]
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(b)
Durch Partialbruchzerlegung erhält man \[\frac{1}{n (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\] für alle \(n\in\mathbb{N}\), was man auch schnell folgendermaßen zeigen kann: \[\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)}=\frac{n+1-n}{n (n+1)}=\frac{1}{n (n+1)}\]
Unter Anwendung von (a) erhält man:\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) = \frac{1}{1}-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 1- 0 = 1\]
