n+1 Vektoren sind v, Mv, M2v,...Mnv linear unabhängig

Question

Ich habe die folgende Aufgabe:

1. Für n ∈ ℕ existiert M ∈ Mat(nxn, K) und v ∈ Kⁿ, so dass die n+1 Vektoren v, Mv, M²v,...Mⁿv linear unabhängig sind.

  Damit sie linear unabhängig sind muss gelten :

   ∑ a_i*Mⁱ*v=0

   ⇒ 0=∑ a_i *Mⁱ⁺ⁿ *v=0

 Nun ist doch Mⁿ=0 wegen der Nilpotenheit oder und alle Mⁿ⁺ⁱ ≠0 für i=1,...n. Da meine Summe von i=1 bis n läuft, muss also ai immer gleich null gelten. Und jetzt weiß ich leider auch nicht mehr weiter. Kann mir jemand einen Tipp geben oder sagen wo mein Fehler liegt?

2. Eine Matrix A ∈ Mat(2x2, ℂ) mit reellen Einträgen und einem Eigenwert λ ∈ ℂ ohne ℝ ist diagonalisierbar.

  Ich weiß dass die Aussage richtig ist, da nach dem Fundamentalsatz der Algebra jedes Polynom eine Nullstelle in ℂ hat. Das charakteristische Polynom ist entweder (x-λ1)*(x-λ2) oder (x-λ)². Damit erhält man auch immer zwei eigenvektoren, und deshalb ist A diagonalisierbar. Doch wie beweise ich das formal richtig?

Answer 1

Hallo

es existiert ein M, da musst du ein solches suchen, denn das gilt sicher nicht für alle M. mach es dir klar für n=2. Wie kommst du auf das nilpotent? also für n=2 auf M^2=0.

Gruß lul

Comments

Wäre ein Beispiel die 2x2 Matrix

(a     0

 0      b) mit a,b ∈ ℝ.

Weil wenn man dann ist der Vektor v= (x   y)^T linear unabhängig für x≠y, aber Av und A²v sind linear abhängig

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Hallo

 ein Vektor ist nie linear unabhängig oder abhängig!

wieso ist A^2*v linear abhängig von A*v?

 was hast du denn für A^2

 wenn a=b hast du v,Av, A^2v alle linear abhängig.

aber was du meinst verstehe ich nicht.

hast du denn die Aufgabe richtig abgeschrieben, n+1 Vektoren in einem N dim Vektorraum sind NIE linear unabhängig. hast du unabhängig mit abhängig verwechselt?

Gruß lul

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Nein, ich habe sie schon richtig abgeschrieben, es muss linear unabhängig heißen. Aber ich muss damit beweisen oder widerlegen, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Und wenn sie falsch ist soll ich ein konkretes Gegenbeispiel angeben. Und irgendwie stehe ich bei diesen beiden Aufgaben voll auf dem Schlauch....