Logarithmus, Exponentialgleich lösen (Unbekannte im Exponent)

Question

2a^{2a}=64, was ist a    [a ist größer 0]

Gerade eben habe ich ja gefragt was a^a wäre. Ich frag jetzt nur interessehalber, was dann nur a wäre?

Answer 1

Läßt sich algebraisch nicht lösen.
Newtonverfahren
a = 3.08..

Comments

2 vergessen.

Answer 2

2·a^2a = 2·(a^a)² = 64

(a^a)² = 32

a^a = √32

e^a·ln(a) = √32

a·ln(a) = ln(√32)

gesucht sind die Nullstellen von  f(a) = a·ln(a) - ln(√32)

mit f '(a) = ln(a) + 1  kannst du das Newtonverfahren (Näherungslösung!) anwenden:

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel
x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

Gruß Wolfgang 

Answer 3

x^{2x} * 2 = 64 läuft auf x^x=y hinaus -> siehe

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

Fall §3

a^a=sqrt(32)=√(32)

nur bei n=0 also log(sqrt(32))/LambertW(0,log(sqrt(32))) = log(sqrt(32))/LambertW(log(sqrt(32)))

kommt ein realistisches Ergebnis 64 heraus:

1.7328679513998632735430803/LambertW(1.7328679513998632735430803)

a=2.199027957717074563113793...

LambertW ist leider kein Lehrplan. Bei Wikipedia und bei Wissenschaftlern ist sie eine elementare Funktion.

(Rechner dazu siehe unten im LINK)

Falls es heißen sollte (2a)^{2a}=64, substituiert man x=2a usw.

Da es eine irrationale Zahl (unendlich viele Nachkommastellen) ist, wird die Angabe der Genauigkeit (Nachkommastellenanzahl) benötigt! {kann Dir 10000 Stellen berechnen}

Answer 4

  Wenn du dich mal im Internet schlau machst über die ===>  Lambertsche W-Funktion .  Dabei ist deine Aufgabe noch wesentlich einfacher als üblicher Weise.

     (  2  a  )  ^  (  2  a  )  =  64    |  ln    (  1a  )

    2  a  ln  (  2  a  )  =  6  ln  (  2  )     (  1b  )

    Wir führen die Substitution ein

       z  :=  ln  (  2  a  )         (  2a  )

      2  a  =  exp  (  z  )     (  2b  )

    z  exp  (  z  )  =  6  ln  (  2  )       |   W        (  2c  )

    Knoffhoff; in der Darstellung  ( 2c ) kannst du doch sofort die W-Funktion anwenden .  Wolfram gibt den nummerischen Wert

    z  =  ln  (  2  a  )  =  1.224   (  3a  )

     Ihr habt ja den TR; ich mach das jetzt mit Mammis Logtafel. Multiplizieren mit den berühmten 4343

      lg  (  2a  )  =  .5316  =  lg  (  3.401  )     (  3b  )

   Danach wäre a = 1.701

   Probe:    lg  ( 2a ) ^  2a  =  .5316  *  3.401  =    ( 4 a )

    =  1.8080  =  lg  (  64.27  ) 

   Das isr ein Fehler von 4.2 Promille

   " Das reicht, um drei Mal das Delirium tremens zu kriegen. "  ( Nat Finn )