Erstmal finde ich das echt nett, dass du dir so viel Zeit für mich nimmst.
Bitte.
Hat das etwas mit dem Freiheitsgrad zu tun, den habakuktibatong erwähnt hat?
Was sind Freitsgrade bezogen auf die Matrizen? Weil im Internet finde ich diese nur in Bezug auf A*x = 0. Sind Freiheitsgrade etwa die Einträge im oberen Dreieck, die man frei wählen kann?
Ja habakuk und ich meinen vermutlich dasselbe. Setz dir mal das Ziel eine symmetrische nxn Matrix aufzuschreiben. Starte mit einer leeren Matrix. Jetzt such dir ein Feld aus und schreibe eine Zahl hin. Wenn die Zahl auf der Diagonalen liegt musst du nichts weiter tun, liegt sie nicht auf der Diagonalen musst du die Zahl noch an der Diagonalen spiegeln. Du willst schließlich eine symm. Matrix aufschreiben. Dann suchst du dir ein anderes noch leeres Feld aus und machst das gleiche wieder, bis die Matrix voll ist.
Du kannst dir also insgesamt \( n + \frac{n(n-1)}{2} \) Zahlen frei heraussuchen, der Rest der Matrix wird durch die Symmetrieeigenschaft gefüllt
Möchtest du eine beliebige nxn Matrix aufschreiben, kannst du jedes der \( n^2 \) Felder frei wählen.
Ich meine mit Freiheitsgrad also nur die Anzahl der Zahlen die du frei wählen kannst, bis die Matrix voll ist.
Wäre also z.B. der Freiheitsgrad der S(n,K)-Matrizen gleich 3?
Wenn du S(3,K) meinst. Zeichne dir mal eine leere 3x3 Matrix auf, mit dem Ziel eine symm. Matrix aufzuschreiben
Du kannst die Elemente auf der Hauptdiagonalen jeweils einzeln frei wählen => 3 Freiheitsgrade
Du kannst dann bspw. noch das obere Dreieck ausfüllen, dann ergibt sich schon das untere => nochmal 3 Freiheitsgrade
Insgesamt damit 6.
Die Länge der Basis von S(3,K) ist auch 6.
Naja, kann man nicht auch das untere Dreieck frei wählen und das obere ergibt sich ganz automatisch aus der Symmetrie? Weil du hast ja gesagt, dass man "nur" das obere Dreieck frei wählen darf.
Natürlich kannst du nicht nur im oberen Dreieck Zahlen wählen, sondern auch im unteren, dann ergibt sich aber aus der Zahl im unteren Dreieck auch eine Zahl im oberen Dreieck. In einer symmetrischen Matrix korrespondieren immer zwei Einträge miteinander (sofern nicht auf der Diagonalen)
Zur Basis von S(3,K): Ich habe es jetzt dank deiner Erklärung begriffen! Mir war davor nicht ganz klar, welche Struktur symmetrische Matrizen haben.
Aber dies bezüglich habe auch noch eine kleine Frage, um sicher zu gehen, dass ich das nicht missverstanden habe.
Kann man die Basis von S(3,K) auch wie folgt zusammenfassen?:
...
Nein, das kann man nicht machen. Denn diese Matrizen reichen nicht auch um S(3,K) zu erzeugen. Das System ist also jetzt nicht mehr zu lang, sondern zu kurz! Z.B. wirst du
$$ \begin{pmatrix} 1&2&3\\2&4&5\\3&5&6 \end{pmatrix} $$
nicht als Linearkombination mit diesen Matrizen darstellen können, denn \( 2\neq 3 \).
Deine Matrizen erzeugen alle Matrizen der Form:
$$ \begin{pmatrix} a&b&b\\b&c&d\\b&d&e \end{pmatrix} $$
Diese sind zwar alle symm., aber du kannst damit nicht alle erzeugen.
Muss also eine Basis immer eine "Variable" haben? Mag zwar eine komische Frage sein, aber diese ist mir im Zusammenhang mit den Basen des Matrizenraums eingefallen.
Die Frage verstehe ich nicht so richtig.
Vielleicht hilft dir: Eine Basis muss einerseits linear unabhängig sein, das heißt so kurz wie möglich, aber gleichzeitig lange genug um alle Elemente mit der Basis erzeugen zu können.
Oder könnte man die kanonische Basis des R3, also
...
auch schreiben als:
...
Nein. Gleiches Spiel wie oben
$$ \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} = 1 \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} $$
Mit der Standardbasis ist dieser Vektor darstellbar. Mit deinem Vorschlag
$$ \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} $$
nicht, d.h. es kann keine Basis sein.
Noch eine letzte Frage zur antisymmetrische Matrizen:
Bei den antisymmetrischen Matrizen sind wir ja etwas eingeschränkter. Wenn ich mir deine Basis von A(3,K) anschaue und die Beispiele aus dem Internet, dann hat eine antisymmetrische Matrix ja folgende Struktur:
Müssen die Einträge der Hauptdiagonale immer 0 sein? Ich vermute ja, weil ich das bei einer Matrix ausprobiert habe.
Ja, richtig. Die Hauptdiagonale muss 0 sein. Bei antisymm. Matrizen forderst du ja \( A = - A^T \). Die Diagonale bleibt beim transponieren an ihrem Platz und durch das Minus wird das Vorzeichen aller Einträge geändert. Wenn die Zahl a auf der Diagonale liegt folgt nach Voraussetzung \( a = -a \implies a = 0 \).
kann man etwa aussagen, dass die Anzahl der frei wählbaren Einträgen von symmetrischen Matrizen (also Hauptdiagonaleinträge + Einträge des oberen Dreiecks oder Hauptdiagonaleinträge + Einträge des unteren Dreiecks) die Anzahl der Basiselemente des S(n,K) entspricht?
Das würde nämlich auch die obige Formel erklären, die die Dimension von S(n,K) und A(n,K) beschreibt!
Richtig!
