Lineare algebra winkel und ebenen

Question

Aufgabe : Bestimmen Sie alle ebenen, die mit der ebene E:3x1+4x3=0 die Punkte A (0/0/0) und B (4/0/-3) gemeinsam haben und die ebene E unter einem Winkel von 30° schneiden.

So ich schreibe morgen eine Klausur und versteh leider nicht genau wie man hier vorangeht. Die Lösung habe ich schon, jedoch versteh ich einfach nicht wie man darauf kommt. Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte was genau man jetzt machen muss?

MfG :)

Answer 1

Beide Punkte liegen in der Ebene, also auch die Gerade durch A und B.

Die hat die Richtung (4 / 0 / -3) .

Also gilt für  den Normalenvektor n = (nx,ny,nz) der gesuchten Ebene schon mal

4*nx -3*nz = 0 .

Außerdem muss er mit dem Normalenvektor von E einen Winkel von 30° bilden,

also   Winkel zwischen  (4/0/3) und  (nx,ny,nz)  = 30°

    (4/0/3) *  (nx,by,nz)  = | (4/0/3)| * | (nx,ny,nz) |  *cos(30° )

 (4/0/3) *  (nx,by,nz)  = | (4/0/3)| * | (nx,ny,nz) |  * 0,5 * √3

Wählt man n als Einheitsvektor, dann gilt

 (4/0/3) *  (nx,ny,nz)  = 5 * 0,5 * √3

4nx + 3nz = 2,5 *√3   außerdem (s.o. )  4*nx -3*nz = 0 .

==>  8nx = 2,5 *√3

             nx = 5/16 *√3   und damit nz= 5/12 *√3

    und wegen Einheitsvektor ny = ± 25/48 *√3