Partialbruchzerlegung (x^4 + x^2 + 1)/(x^3 - x^2)

Question

Ich muss den Bruch zerlegen verstehe diesen jedoch nicht.

Den darüber habe ich schon wäre aber super wenn ihn dennoch jemand hier reinstellen könnte zur Kontrolle.

Answer 1

Du kannst die erste alternate form verwenden (anstreben) von https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%5E4+%2B+x%5E2+%2B+1)%2F(x%5E3+-+x%5E2)

Der Anteil, der keine Brüche im Nenner hat, kann z.B. mit einer Polynomdivision oder mit geschicktem Ergänzen weggekürzt werden.

Die eigentliche Partialbruchzerlegung kommt erst, wenn x+1+... schon klar sind.

(x^4 + x^2 + 1)/(x^3 - x^2) 

=  (x^4 -x^3 + x^3 + x^2 + 1)/(x^3 - x^2)

= (x(x^3 - x^2) + x^3 + x^2 + 1)/(x^3 - x^2)

= (x(x^3 - x^2) + x^3 -x^2 + x^2 + x^2 + 1)/(x^3 - x^2)

= (x(x^3 - x^2) + 1(x^3 -x^2)  + 2x^2 + 1)/(x^3 - x^2)

= (x(x^3 - x^2))/(x^3-x^2) + 1(x^3 -x^2)/(x^3-x^2)  + (2x^2 + 1)/(x^3 - x^2)

= x + 1 +  (2x^2 + 1)/(x^3 - x^2)

Nun im blauen Teil eine Partialbruchzerlegung machen. 

Answer 2

Da der Grad des Zählers > als der Grad des  Nenners ist , machst Du zuerst eine Polynomdivision,

dann eine Partialbruchzerlegung:

Answer 3

Zur ersten Aufgabe:
$$\frac{1}{2\,\left(x+2\right)}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2\,x}$$