Gleichung mit Wurzel vereinfachen

Question

Ich stehe vor einer Ableitungsaufgabe, welche ich vereinfachen sollte. Jedoch komme ich nicht aufs Resultat. Folgende Gleichung muss ich ableiten:

y = (x^2-1)wurzel(x^2+4)

meine Lösung war:

y' = 2x*wurzel(x^2+4) + (x^2-1)/wurzel(x^+4)

Jedoch weiss ich nun nicht, wie man von diesem Resultat auf das Resultat:

(3x^3+7)/wurzel(x^2+4) kommt.

Comments

Du hast den Wurzelfaktor falsch abgeleitet, es ist \(\left(\sqrt{x}\right)'=1/\left(2\cdot\sqrt{x}\right)\).

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Ah, ups.

Aber wie komme ich von dieser abgeleiteten Gleichung zu dieser

(3x^{3}+7)/wurzel(x^{2}+4)

Lösung?

Answer 1

Bei deiner Ableitung ist dir beim zweiten Summanden ein Fehler unterlaufen. Du hast dort vergessen die innere Ableitung zu bilden:

Du hast geschrieben:

$$ y'=2x\cdot \sqrt{x^2+4}+\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+4}} $$

Es muss aber heißen:

$$ y'=2x\cdot \sqrt{x^2+4}+(x^2-1)\cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{x^2+4}}\cdot 2x=2x\cdot \sqrt{x^2+4}+\frac{(x^2-1)x}{\sqrt{x^2+4}}$$

Comments

Okei, danke.

Aber wie kann man weiterrechnen, damit man auf diese Lösung kommt:

(3x3+7)/wurzel(x2+4)

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Du kannst den ersten Summanden mit dem Wurzelterm erweitern und schauen, was sich daraus ergibt. Ich habe es nicht nachgerechnet.

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Ok, jetzt habe ich es mit der Ableitung von hallo97 nachgerechnet: Es funktioniert!

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Na, dann ist doch perfekt :)

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Ja, so ist es!

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Danke euch beiden!!

Jetzt verstehe ich es. :)

Answer 2

f ( x ) = (x^2-1) * √(x^2+4)
f ( x ) = (x^2-1) * (x^2+4) ^{1/2}
u = (x^2-1)
u ´ = 2x
v = (x^2+4) ^{1/2}
v ´ = 1/2 * ( x^2 + 4 ) ^{-1/2 } * 2x
v ´ = x * ( x^2 + 4 ) ^{-1/2 }
u ´ * v + u * v´

2x * (x^2+4) ^{1/2} + (x^2-1)  * x * ( x^2 + 4 ) ^{-1/2 }

2x * (x^2+4) ^{1/2} * ( x^2 + 4 ) ^{1/2} / ( x^2 + 4 ) ^{1/2}  
( x^2+ 4)+ (x^2-1)  * x  / ( x^2 + 4 ) ^{1/2 }

[ 2x * ( x^2 + 4 ) + ( x^2 - 1 ) * x  ] / √ (x^2+4)
( 2x^3 + 8x + x^3 - x ) / √ (x^2+4)
( 3x^3 + 7x ) / √ (x^2+4)