Berechnung des Minimalpolynoms

Question

Ich soll zu folgender Matrix Minimalpolynom und charakteristisches Polynom ausrechnen, scheitere aber daran, das Minimalpolynom auszurechnen.

Die Matrix sieht wie folgt aus:

$$A=\begin{pmatrix}0&2&6&-2&-4\\-2&3&4&1&-3\\2&-2&-2&2&0\\3&-4&-8&8&1\\-2&3&7&-5&-1\end{pmatrix}$$

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, müsste das charakteristische Polynom lauten: \(CP_A(\lambda)=-(\lambda -1)^2(\lambda -2)^3\). Die Eigenwerte sind also \(\lambda_1=1, \lambda_2=2\). Geometrische Vielfachheit von \(\lambda_1=1, \lambda_2=2\). Wie komme ich aus den Informationen die ich jetzt habe auf das Minimalpolynom? Ich weiß, dass das Minimalpolynom ein Teiler des Charakteristischen Polynoms ist, und dass die Eigenwerte Nullstellen sind. Ich weiß aber nicht wie ich diese Informationen zum Minimalpolynom zusammenbauen kann.

Answer 1

Ich weiß, dass das Minimalpolynom ein Teiler des Charakteristischen Polynoms ist

Fuer das Minimalpolynom kommen damit nur sechs Moeglichkeiten infrage. Welche? Pruefe von allen, ob sie von der Matrix annulliert werden (soweit noetig).

Comments

Das müssten doch dann folgende 6 sein (ich habe noch nicht meine Matrix eingesetzt und nachgerechnet):

$$(\lambda-1)^2(\lambda-2)^3\\(\lambda-1)^2(\lambda-2)^2\\(\lambda-1)^2(\lambda-2)^1\\(\lambda-1)^1(\lambda-2)^3\\(\lambda-1)^1(\lambda-2)^2\\(\lambda-1)^1(\lambda-2)^1$$

Das weitere vorgehen ist mir dann soweit klar, eine Frage hätte ich dann aber dennoch:

Gibt es eine leichtere Möglichkeit an das Minimalpolynom zu kommen oder läuft das immer über ausprobieren, und ist es hier ok, dass ich das "-" am Anfang weggelassen habe?

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Es gibt einen Zusammenhang zwischen Minimalpolynom und Jordanscher Normalform. Aber wenn Du den nicht kennst, kannst Du ihn nicht benutzen. Man fragt sich allerdings, warum Du die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte bestimmt hast. Jedenfalls: Wenn Dir nichts weiter einfaellt, dann bleibt nur noch, da oben jeweils A einzusetzen und auszurechnen.

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Die geometrische Vielfachheit zu berechnen war teil der Aufgabe, ich wusste nicht ob mir das bei der Berechnung der MP etwas bringt oder ob ich das einfach nur extra noch berechnen sollte, deshalb habe ich das auch mal angegeben.

Vielen Dank dir für deine Hilfe :)