Polynome zu Basis ergänzen

Question

Sei R_{<= n}[t] die Menge der Polynome vom Grad <= n.

Ergänzen Sie { t³ + t² + t + 1, 2t³ + 3t² +2, 2t² - t + 1 } zu einer Basis des R_<=3[t].

Ich habe die Polynome bereits als Vektoren geschrieben, also (1 | 1 | 1 | 1), (2 | 3 | 0 | 2) und (0 | 2 | -1 | 1), allerdings verstehe ich das mit dem R<=3[t] nicht ganz und wie man das macht.

Danke

Comments

allerdings verstehe ich das mit dem R<=3[t] nicht ganz und wie man das macht.

Das wird in der ersten Zeile definiert:

Menge der Polynome vom Grad <= 3.

Answer 1

Gesucht ist eine Basis der Polynome mit Grad <=3 . die Dimension des VR ist 4, wenn also die 3 linear unabhängig sind suchst du einen vierten von den 3 linear unabhängigen Basisvektor.

Du hast die 3 Vektoren als Vektoren der Standardbasis 1,x,x^2,x^3 geschrieben,

Gruß lul

Answer 2

  Was natürlich ginge - rein formal, meine ich .  Du fasst diesen Polynomraum auf als abstrakten  |R  ^  4 und bestimmst einen vierten Vektor, der auf den anderen drei Basisvektoren senkrecht steht.

       x3  +       x2  +  x1  +       x0  =  0         (  1a  )

   2  x3  +  3  x2             +  2  x0  =  0          (  1b  )

                 2  x2  -   x1  +       x0  =  0          (  1c  )   

      Ich gebs ja zu; ich hab bei Wolfram gespickt.  Aber gerade hier merkst du, dass dir Wolfram das selber   Denken keines Wegs  erspart.  Du musst schon selber knobeln, wie der da drauf gekommen ist.

    Addiere  (  1a  )  +  (  1c  )  ;  dann kriegst du doch

       z  :=  x3  +  3  x2  +  2  x0  =  0     (  2  )

      Einsetzverfahren   ( 2 ) in ( 1b )

         x3  +  z  =  0  ===>  x3  =  0         (  3b  )

      Dann würde ( 1b ) etwa befriedigt durch den Ansatz 

     x2  =  2 ;  x0  =  ( - 3 )    In ( 1ac ) ergibt dies x1 =  1 Damit lautet dein Molybdän - äh Molypom

      p4  (  t  )  =  2  t  ²  +  t  -  3         (  4  )