Basis finden Polynome

Question

Aufgabe:

Polynome in R
P1= 3*x^2 -5, P2= x^2 +4*x -25, P3= 0, P4= 4*x^2 -2*x +5

Eine Basis finden für span{P1, P2, P3, P4}

Problem/Ansatz:

Ich habe die Polynome als Matrix geschrieben. Diese Matrix habe ich auf ZSF gebracht und die Basis: x^2, x, 3/2x^2-1/2x erhalten. Leider stimmt meine Lösung nicht.

P3 habe ich rausgenommen, und herausgefunden das die anderen 3 Polynome linear abhängig sind. Nun weiss ich nicht wie ich weiter vorgehen soll um die Basis zu finden?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Rechne die linearen Abhängigkeiten aus den Vektoren mit Hilfe elementarer Spalten-Operationen heraus:$$\begin{array}{c|rrrr} & -3S_2 & & & -4S_2\\\hline x^2 & 3 & 1 & 0 & 4\\x & 0 & 4 & 0 & -2\\1 & -5 & -25 & 0 & 5\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{c|rrrr} & \div2 & & & \div3\\\hline x^2 & 0 & 1 & 0 & 0\\x & -12 & 4 & 0 & -18\\1 & 70 & -25 & 0 & 105\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{c|rrrr} & & & & -S_1\\\hline x^2 & 0 & 1 & 0 & 0\\x & -6 & 4 & 0 & -6\\1 & 35 & -25 & 0 & 35\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{c|rrrr} & \vec b_1 & \vec b_2 & & \\\hline x^2 & 0 & 1 & 0 & 0\\x & -6 & 4 & 0 & 0\\1 & 35 & -25 & 0 & 0\end{array}$$

Wir erhalten eine 2-dimensionale Basis:$$b_1(x)=-6x+35\quad;\quad b_2(x)=x^2+4x-25$$Beachte bitte, dass die Basisdarstellung nicht eindeutig ist, du könntest z.B. auch \(b_1(x)=p_1(x)\) setzen.

Answer 2

Wenn die drei Erzeugenden vom Span linear unabhängig

sind, dann bilden sie ein linear unabhängiges Erzeugendensystem,

auch Basis genannt.

Answer 3

Hallo

mir sieht das nicht nach linear abhängigen Polynomen aus, allerdings sieht man direkt, dass deine sog. Basisvektoren abhängig sind .

Wenn sie nicht abhängig sind spannen sie den Ganzen Raum der Polynoms mit Grad <=2 auf, dann kann man einfach die Standardbasis verwenden. hat deine Diagonalmatrix denn eine Nullzeile?

Also sag mal wie du a) die Marie aufgestellt hast, b) die Abhängigkeit festgestellt hast,

Gruß lul