Zähldichte und Zufallsvariable

Question

ich habe folgende Aufgabe in Stochastik, und fällt mir recht schwer , die zu machen , ein Ansatz oder Erklärung wäre perfekt

Es sei X eine reellwertige Zufallsvariable mit absolut stetiger Verteilung. Außerdem gebe es ein c ∈ℝ mit:

P([X≥ c+t])=P([X ≤ c-t]) für alle t ∈ ℝ

a) Welche Gleichung folgt daraus für die Dichte f_X?

b) Rechnen Se nach, dass E(X)=c gilt , sofern E(X) existiert.

Answer 1

Hi,

wegen $$ P\{ X \ge c+t \} = P\{ X \le c-t \} $$ folgt mit der Verfeilungsfunktion \( F \) von \( X \) das auch

$$ 1 - F(c+t) = F(c-t) $$ gilt, also

$$ 1 = \int_{-\infty}^{c+t} f(s) ds + \int_{-\infty}^{c-t} f(s) ds $$ Differentation nach \( t \) ergibt

$$ 0 = f(c+t) - f(c-t) \text{ also } f(c+t) = f(c-t) $$ Die Dichte ist also symmetrisch um \( c \)

Für den Erwartungswert gilt $$  E(X) = \int_{-\infty}^\infty s f(s) ds  $$ Substitution von \( s = c-\tau \) ergibt

$$ E(X) = \int_{-\infty}^\infty (c-\tau) f(c-\tau) d\tau = c \int_{-\infty}^\infty f(c-\tau) d\tau - \int_{-\infty}^\infty \tau f(c-\tau) d\tau = c - \int_{-\infty}^\infty \tau f(c-\tau) d\tau  $$

Wegen \( f(c+\tau) = f(c-\tau) \) folgt

$$ E(X) = c -\int_{-\infty}^\infty \tau f(c+\tau) d\tau = c - \int_{-\infty}^\infty (t-c)f(t) dt = c - E(X)+c = \\ 2c - E(X) $$ also folgt

$$ E(X) = c $$