Orthogonales komplement abgeschlossen teilmenge

Question

Sei X ein K-Vektorraum, K = R oder C, und sei ⟨·, ·⟩ ein inneres Produkt auf X mit zuge- höriger Norm ∥ · ∥.
Für eine nichtleere Teilmenge U von X definieren wir das orthogonale Komplement von U durch
U^⊥ :={x∈X|⟨x,y⟩=0 füralle y∈U}.

Ich soll im folgenden zeigen dass U^⊥ ist ein abgeschlossener Unterraum von X ist .
U^⊥ = (U)^⊥ gelte . 

Wie zeig ich das am besten ?

Answer 1

abgeschlossen heißt doch:
Komplement ist offen.

Die Zugehörigkeit zu U ist üpber

Skalarprodukt = 0 definiert, also im

Komplement  Skalarprodukt ≠ 0, und wenn das

an einer Stelle gilt, gilt es wegen der Stetigkeit des

Skalarproduktes auch in einer ganzen Umgebung.

 

Comments

Und wie zeige ich das genau ?

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Etwa so:

Sei x aus dem Komplement von U^T .

Dann gibt es ein y ∈ U mit  <x,y>≠0

bzw.  ||x-y|| ≠ 0 etwa ||x-y|| = ε > 0 .

Dann für alle x ' aus der ε/2 - Umgebung von x:

ε = ||x-y|| = || x-x '  + x ' - y ||   (dann Dreiecksungl.)

               ≤  || x-x ' || + || x ' - y ||  (wegen x ' aus  der  ε/2 -Umgebeung also )

               <    ε/2 + || x ' - y ||

Damit hast du    || x ' - y ||   > ε/2.

Also gilt auch ||x - x ' ||  ≠ 0.  Damit liegt also eine ganze

Umgebung von x auch im Komplement von U^T , also ist

das Komplement offen und damit  U^T   abgeschlossen.