Konstante berechnen um Dichtefunktion zu erhalten, Verteilungsfunktion

Question

Welchen Wert muss die Konstante k haben, damit die Funktion f mit

f(x)=    0 : x<0        [korrigiert (TR)]

           kx : 0≤ x ≤ 2

           0 : x≥ 2

zu einer Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße wird? Berechne. Bestimme weiter die dazu gehörige Verteilungsfunktion und den Erwartungswert.

Comments

Heißt es nicht vielleicht

0: x<0

In der ersten Zeile?

Answer 1

Bestimme k so, dass ∫_-∞..∞ f(x) dx = 1 ist.

Verteilungsfunktion ist, wie üblich, ∫_-∞..x f(t) dt.

Erwartungswert ist, ebenfalls wie üblich ∫_-∞..∞ x·f(x) dx.

Answer 2

f(x)=    0 : x<0

          kx : 0≤ x ≤ 2

          0 : x≥ 2

zu einer Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße wird?

Skizze:

f(x)=    0 : x<0

          1/2 x : 0≤ x ≤ 2

          0 : x≥ 2

F(x) = 0 für x< 0

       = 1/4 x^2  für 0 ≤ x≤ 2
      = 1  für x≥ 2

E(x) =  ∫_(-∞)^{∞} x·f(x) dx

=  ∫_(0)^{2} x·1/2 x  dx

= 1/2   ∫_(0)^{2} x^2  dx

= 1/2 [ 1/3 x^3 ]_(0)^{2}

= 1/2 ( 8/3 - 0)

= 4/3

(ohne Gewähr!)