Integralrechnung . Zeige, dass x-Achse … Fläche A= 27 im Verhältnis 7:1 teilt

Question

Vielen Dank schon einmal!!

Zeige, dass die x- Achse die Fläche (A=27) zwischen Parabel (y=ax^2 - x mit a = 2/9) und Normale (im Ursprung) im Verhältnis 7:1 teilt, unabhängig vom Wert a.

Answer 1

Es ist

(int(a*x^2-2*x,x=0..2/a)-int(a*x^2-x,x=0..1/a))/int(a*x^2-x,x=0..1/a)=7

Dabei verwendet:
Tangente im Ursprung: y = -x
Normale durch Ursprung: y = x
Schnittstellen Parabel und Normale: x = 0 und x = 2/a
Nullstellen der Parabel: x=0 und x = 1/a.

Ps: Die linke Seite kann noch vereinfacht werden:

int(a*x^2-2*x,x=0..2/a) / int(a*x^2-x,x=0..1/a) - 1 = 7

.

Answer 2

Die Normale im Ursprung hat die Gleichung y=x. Sie schneidet die Parabel ein zweites Mat in (9|9). Die Parabel hat außerdem die zweite Nullstelle x=4,5. Dann berechnet sich die Fläche zwischen Parabel und Normale als F=Dreieck+F₁-F₂ mit F₁=∫(2x²/9-x) in den Grenzen von 0 bis 4,5 und F₂=∫(2x²/9-x) in den Grenzen von 4,5 bis 9 sowie Dreieck = 9·4,5. Jetzt muss man zeigen (Dreieck-F2)/F1=7/1.