also beim Sehnentrapezverfahren erhält man:
Ansatz:
$$ \frac{f(a)+f(b)}{2}\cdot \frac{b-a}{n}+\sum_{k=1}^{n-1}{f\Big(a+k\cdot\frac{b-a}{n}\Big)} $$
a : Untergrenze
b : Obergrenze
n : äquidistante Zerlegung
Dann hat man also:
$$\begin{aligned} \int_1^5{\frac{1}{(1+x)^2}}dx&\approx \frac{f(1)+f(5)}{2}\cdot \frac{5-1}{4}+\sum_{k=1}^{4-1}{f\Big(1+k\cdot\frac{5-1}{4}\Big)}\\&= \frac{f(1)+f(5)}{2}+\sum_{k=1}^{3}{f(k+1)}\\&=\frac{f(1)+f(5)}{2}+f(1+1)+f(2+1)+f(3+1)\\&=\frac{f(1)+f(5)}{2}+f(2)+f(3)+f(4)\\&=\frac{5}{36}+\frac{769}{3600}=\frac{141}{400}=\underline{\underline{0,3525}}\end{aligned}$$
Nun das Simpsonsverfahren:
Ansatz:
$$ \int_a^bf(x)dx\approx \frac{b-a}{6n}\cdot (y_0+4y_1+2y_2+4y_3+\cdots +2y_{2n-2}+4y_{2n-1}+y_{2n}),\\0\leq k \leq 2n\\y_k=f\Big(a+k\cdot\frac{b-a}{2n} \Big) $$
Dann hat man also:
$$ y_k=f\Big(1+k\cdot\frac{5-1}{2\cdot 4} \Big)=f\Big(1+0,5\cdot k \Big) \\ \frac{b-a}{6n}=\frac{5-1}{6\cdot 4}=\frac{1}{6} $$
$$ \int_1^5{\frac{1}{(1+x)^2}}dx\approx \frac{1}{6}\cdot\Bigg(f\Big(1+0,5\cdot 0 \Big)+4\cdot f\Big(1+0,5\cdot 1 \Big)+\\2\cdot f\Big(1+0,5\cdot 2 \Big)+4\cdot f\Big(1+0,5\cdot 3 \Big)+2\cdot f\Big(1+0,5\cdot 4 \Big)+\\4\cdot f\Big(1+0,5\cdot 5 \Big)+2\cdot f\Big(1+0,5\cdot 6 \Big)+4\cdot f\Big(1+0,5\cdot 7 \Big)+f\Big(1+0,5\cdot 8 \Big) \Bigg)\\=\frac{1}{6}\cdot\Big(f(1)+4f(1,5)+2f(2)+4f(2,5)+2f(3)+4f(3,5)+2f(4)+4f(4,5)+f(5) \Big)\\=\frac{1}{6}\cdot\Bigg(\frac{1}{4}+4\cdot\frac{4}{25}+2\cdot\frac{1}{9}+4\cdot\frac{4}{49}+2\cdot\frac{1}{16}+4\cdot\frac{4}{81}+2\cdot\frac{1}{25}+4\cdot\frac{4}{121}+\frac{1}{36} \Bigg)\\=\frac{1}{6}\cdot\Bigg(\frac{1}{4}+\frac{16}{25}+\frac{2}{9}+\frac{16}{49}+\frac{1}{8}+\frac{16}{81}+\frac{2}{25}+\frac{16}{121}+\frac{1}{36} \Bigg)=\underline{\underline{0,333548813}} $$
