d((x1,y1),(x2,y2)):= || ( dx(x1,x2),dy(y1,y2) ) ||
Positivität: (x1,y1) = (x2,y2)
=> x1=x2 und y1=y2
=> d(x1,x2)=0 und d(y1,y2)=0 weil dx und dy Metriken sind.
=> || (dx(x1,x2),dy(y1,y2))|| = 0 weil || ... || eine Norm auf R2 ist, also
nur die Norm von (0,0) gleich 0 ist.
Symmetrie
d((x1,y1),(x2,y2))= || (dx(x1,x2),dy(y1,y2))||
= ||(dx(x2,x1),dy(y2,y1))|| weil dx und dy Metriken sind
= d((x2,y2),(x1,y1)) ( Def. von d .)
Dreiecksungl. d((x1,y1),(x3,y3)) + dx(x3,x2),dy(y3,y2))
=||(dx(x1,x3),dy(y1,y3) ) || + || (dx(x3,x2),dy(y3,y2)) || wegen Norm
≥ || (dx(x1,x3),dy(y1,y3) ) + (dx(x3,x2),dy(y3,y2)) || Addition in R2
= ||(dx(x1,x3) + dx(x3,x2) , dy(y1,y3)) + dy(y3,y2)) ||
jetzt fehlt mir grad ein Argument für
≥ || (dx(x1,x2),dy(y1,y2))|| = d((x1,y1),(x2,y2))
Muss wohl irgendwie über die Dreiecksungl. für die Metriken laufen.