Metrische Räume: Abstandfunktion und Stetigkeit

Question

Komme bei dieser Aufgabe nicht wirklich vorran.

Es seien (X,dx) und (Y,dx) metrische Räume, und ·eine beliebige Norm auf R2. Wir definieren d : (X×Y)×(X ×Y) → R≥0 durch d((x₁,y₁),(x₂,y₂)):= ||dx(x₁,x₂),dy(y₁,y₂)||

 (a) Zeigen Sie, dass d eine Abstandsfunktion ist, und damit X×Y zu einem metrischen Raum wird.

b) Sei nun F : X ×Y → R eine stetige Funktion auf dem Produktraum. Zeigen Sie: Für alle x ∈ X ist die Einschränkung Fx : Y → R, Fx(y) := F(x,y) stetig auf Y. Ebenso ist Fy : X →R, Fy(x) := F(x,y) stetig.

Comments

Zeigen Sie, dass d eine Abstandsfunktion ist, und damit X×Y zu einem metrischen Raum wird.

Das ist doch immer und ewig das Gleiche: Rechne die drei Eigenschaften einer Abstandsfunktion nach. Was denn sonst?

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Ich muss nach Positivität,Symmetrie und Dreiecksungl. untersuchen nur bin ich gerade zu blöd dafür

Answer 1

d((x1,y1),(x2,y2)):= || ( dx(x1,x2),dy(y1,y2) ) ||

Positivität: (x1,y1) = (x2,y2)

=>  x1=x2  und  y1=y2

=>  d(x1,x2)=0  und d(y1,y2)=0  weil dx und dy Metriken sind.

=>   ||  (dx(x1,x2),dy(y1,y2))||  =   0 weil || ... || eine Norm auf R2 ist, also

nur die Norm von (0,0)   gleich 0 ist.

Symmetrie

d((x1,y1),(x2,y2))= || (dx(x1,x2),dy(y1,y2))||

= ||(dx(x2,x1),dy(y2,y1))||   weil dx und dy Metriken sind

= d((x2,y2),(x1,y1))  ( Def. von d .)

 Dreiecksungl. d((x1,y1),(x3,y3)) + dx(x3,x2),dy(y3,y2))

=||(dx(x1,x3),dy(y1,y3) ) || + || (dx(x3,x2),dy(y3,y2))  ||   wegen Norm

≥ || (dx(x1,x3),dy(y1,y3) ) +  (dx(x3,x2),dy(y3,y2)) ||  Addition in R2

= ||(dx(x1,x3) + dx(x3,x2)  ,  dy(y1,y3)) + dy(y3,y2)) ||

jetzt fehlt mir grad ein Argument für

≥  || (dx(x1,x2),dy(y1,y2))||  =  d((x1,y1),(x2,y2))

Muss wohl irgendwie über die Dreiecksungl. für die Metriken laufen.