Wenn diese Ungleichung für alle n gilt, dann gilt sie insbesondere für n = 4
4 ^ 4 x0 < 4 ! ( 1a )
2 ^ 8 x0 < 2 ³ * 3 ===> x0 < 3/32 ( 1b )
Wir beweisen jetzt mittels vollständiger Induktion, dass ein solches x0 unsere Forderung erfüllt
(V) n | 4 ^ n x0 < n ! ( 2a )
Induktionsschritt; dann müsste folgen
4 ^ ( n + 1 ) x0 < ( n + 1 ) ! ( 2b )
Jetzt ist aber sicher in ( 2a )
4 ^ ( n + 1 ) x0 = 4 * 4 ^ n x0 < n * n ! = ( n + 1 ) ! ( 2c )
insbesondere, weil ja immer n > 4 .
ergo a tergo; die Menge M ist NACH OBEN BESCHRÄNKT durch den Schätzwert 3/32 .
Weißt du wirklich, was das ist, ein Supremum? also jetzt nicht bloß, weil der Herr Professor es hören will.
Betrachten wir etwa die Menge S aller rationaleen Zahlen mit x ² < = 2 . Auch die ist nach Oben beschränkt; sie besitzt aber keine KLEINSTE obere Schranke ===> Dedekindscher Schnitt; kein Supremum. Denn dieses Supremum müsste ja identisch sein mit wurzel ( 2 ) ; und das ewige Faszinosum. Wurzel ( 2 ) ist keine rationale Zahl.
Warum bedürfen wir in der Analysis überhaupt der reellen Zahlen; warum reichen uns die rationalen Zahlen nicht aus?
Weil wir hier garantiert kriegen, dass jede NACH OBEN BESCHRÄNKTE MENGE IHR SUPREMUM hat .
Mit diesem Trick funktionieren übrigens viele Konvergenzbeweise; so brauchte ich es z.B. in meiner eigenen Dissertation ...
Deine Frage - entschuldige - ist eine typische Anfängerfrage.
<< jedoch haben wir bisher in der Vorlesung
<< noch kein Supremum bestimmt,
<< deswegen weiß ich nicht
<< wie ich dies überprüfen soll.
Es geht nicht darum, den genauen Wert dieses Supremums zu berechnen - dies wäre möglicher Weise eine Aufgabe der Algoritmik bzw. nummerischen Matematik. Wir reden hier gar nicht über Kommastellen und Abschätzungen.
Wichtig ist alleine, dass du verstehst, dass und warum aus ( 1b ) folgt, dass dieses Supremum existiert.
( Die Vorgehensweise ist immer die selbe; es genügt, ÜBERHAUPT eine obere Schranke anzugeben. )
Aber geile Aufgabe; doch die hat Pep ...