Zeigen, dass Menge ein Supremum in den reelle Zahlen besitzt

Question

es ist zu beweisen, dass

$$M:= \{x \in \mathbb {R} :x>0\wedge \forall n \in \mathbb {N}: n!>4^nx\} $$ ein Supremum in den reellen Zahlen besitzt. Ich kenne natürlich die Definition des Supremums jedoch haben wir bisher in der Vorlesung noch kein Supremum bestimmt, deswegen weiß ich nicht wie ich dies überprüfen soll. Kann mich jemand in die richtige Richtung weisen?

Answer 1

jedoch haben wir bisher in der Vorlesung noch kein Supremum bestimmt

Spielt keine Rolle. Es gibt eh kein Patentrezept, um das Supremum einer Menge zu bestimmen. Da ist immer selber denken angesagt. Damit ein \(x\) in \(M\) liegt, muss dieses \(x\) abzaehlbar unendlich viele Ungleichungen erfuellen. Die ersten paar sind $$x<1\wedge x<\frac{1}{4}\wedge x<\frac{1}{8}\wedge x<\frac{3}{32}\wedge\ldots$$ Schreib noch mehr davon hin.

Answer 2

  Wenn diese Ungleichung für alle n gilt, dann gilt sie insbesondere für n = 4

    4  ^  4    x0  <  4 !       (  1a  )

    2  ^  8  x0  <  2  ³  *  3  ===>  x0  <  3/32      (  1b  )

  Wir beweisen jetzt mittels vollständiger Induktion, dass ein solches  x0 unsere Forderung erfüllt

   (V)  n  |  4  ^  n  x0  <  n !     (  2a  )

    Induktionsschritt;  dann müsste folgen

     4  ^  (  n  +  1  )  x0  <  (  n  +  1  )  !     (  2b  )

      Jetzt ist aber sicher in  (  2a  )

   4  ^ ( n + 1 ) x0 = 4 * 4 ^ n x0 < n * n ! = ( n + 1 ) !     ( 2c )

    insbesondere, weil ja immer n > 4 .

   ergo a tergo;  die Menge  M  ist NACH OBEN BESCHRÄNKT durch den Schätzwert  3/32  .

   Weißt du wirklich, was das ist, ein Supremum?  also jetzt nicht bloß, weil der Herr Professor es  hören will.

   Betrachten wir etwa  die Menge S aller rationaleen Zahlen mit x ² < = 2 . Auch die ist nach Oben beschränkt; sie besitzt aber keine KLEINSTE obere Schranke  ===>  Dedekindscher Schnitt; kein Supremum. Denn dieses Supremum  müsste ja identisch sein mit wurzel ( 2 ) ;  und das ewige Faszinosum. Wurzel ( 2 ) ist keine rationale Zahl.

   Warum bedürfen wir in der Analysis überhaupt der reellen Zahlen; warum reichen uns die rationalen Zahlen nicht aus?

   Weil wir hier garantiert kriegen, dass jede NACH OBEN BESCHRÄNKTE MENGE IHR SUPREMUM  hat .

   Mit diesem Trick funktionieren übrigens viele Konvergenzbeweise; so brauchte ich es z.B. in meiner eigenen Dissertation ...

   Deine Frage - entschuldige - ist eine typische Anfängerfrage.

<<  jedoch haben wir bisher in der Vorlesung

  <<  noch kein Supremum bestimmt,

   <<  deswegen weiß ich nicht

   <<  wie ich dies überprüfen soll.

       Es geht nicht darum, den genauen Wert dieses Supremums zu berechnen - dies wäre möglicher Weise eine Aufgabe der Algoritmik bzw. nummerischen Matematik. Wir reden hier gar nicht über Kommastellen und Abschätzungen.

   Wichtig ist alleine, dass du verstehst, dass und warum aus ( 1b ) folgt, dass dieses Supremum existiert.

   ( Die Vorgehensweise ist immer die selbe; es genügt, ÜBERHAUPT  eine obere Schranke anzugeben. )

   Aber geile Aufgabe; doch die hat Pep ...

Comments

Obere Schranken für das \(M\) aus der Aufgabe anzugeben ist trivial: Fuer jedes \(n\in\mathbb{N}\) ist \(n!/4^n\) eine. Es fehlt aber noch der Nachweis, dass \(M\) nichtleer ist!

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     Zunächst mal . Deine Schranke darf nicht von n abhängen; n ist quasi ein gebundener Parameter .  Gesucht ist eine Schranke von M  ;  in der Definition von M taucht n nur unter dem Allquantor als gebundener Parameter auf . Genau diesen Beweis habe ich mit meiner Induktion erbracht .

   Dass M nichr leer ist;   der Existenzbeweis . Mein Umformungsschritt der Ungleichung von ( 1a ) nach ( 1b ) ist eine Äquivalenzumformung der Ungleichung;  die Aussage ( 1b ) ist wahr genau dann, wenn Forderung ( 1a ) wahr ist.

  " Wenn x0 < 3/32  , erfüllt es die geforderte Eigenschaft. "

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0!/4⁰, 1!/4¹, 2!/4², 3!/4³, ... sind alles obere Schranken für M (per Definition vom M). Da haengt nix von n ab und da muss man auch nix für beweisen. Z.B. ist also 1 eine obere Schranke für M. "Die Vorgehensweise ist immer die selbe; es genügt, ÜBERHAUPT eine obere Schranke anzugeben. " Hab ich Dir gemacht, ist voellig trivial. Wozu ueberhaupt eine Rechnung?

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  Du  WILLST  UND WILLST es nicht einsehen .  Die Folge

    <  n !  *  4  ^ (  -  n  )  >       (  2.1  )

     divergiert doch  .  Das ist nicht der richtige Weg, die obere Schranke einzusehen . Viel mehr musst du die Ungleichung umgekehrt lesen; jedes x = x ( 4 ) ist schon eine obere Schranke für alle n .

   Diesen Umstand habe ich jetzt  induktiv bewiesen in ( 1.2bc ) Weißt du einen wesentlich kürzeren Weg?

 <<  0!/40, 1!/41, 2!/42, 3!/43, ... sind alles obere Schranken für M

     Woher weißt du das?

     <<    (per Definition vom M).

    DAS  schon gleich gar nicht .  Unser Assistent mit seinem Frankfurter Slng , der immer "  esch größer " sagte statt echt größer, hatte so geile Sprüche drauf.

   " Em Erstsemester derfste nix glaube. Dene ihr Zeusch kannse voll in die Feif rauche. Die könne noch net maa denke.  Unn des schlimmste:  Die meine, 's weer wüükisch ( wirklich ) so, wiese saache.

   Nachher im 7. Semester kannse schon emaa Pippifax mache.  "

   Und zu Studenten, die gleich dir dieses problematische Verhältnis zu dem Parameter n hatten, pflog er zu sagen

   " 's gibt Leute, die wolle als noch net kapiern, dass über die Konvergenz einer Folge im Endlischnnn  üwwerhoppt nix folgt. "

    Weil du nimmst ja auch drei n-Werte her und bezeichnest diese willkürlichen Werte als obere Schranken für M .

   Wohl gemerkt ich bin ein toller Rand - äh ich bin tolerant . Wenn du einen zureichenden Grund für deine Behauptung nachreichen würdest, wäre deine Abschätzung wenigstens genial .

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$$\forall n\in\mathbb{N}:n!>4^nx$$ ist das Gleiche wie $$x<0!/4^0\wedge x<1!/4^1\wedge x<2!/4^2\wedge\ldots$$ Manche schreiben sogar \(\bigwedge\) anstatt \(\forall\).

Die erste Bedingung für \(x\in M\) lautet demnach \(x<1\). Also ist \(M\) nach oben beschraenkt. Womit die Sache nach Deinem Patentrezept ja schon gegessen ist.

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  Mensch sieh doch endlich mal ein, dass die Folge  ( 2.1 )

  <  n !  *  4  ^ (  -  n  )  >      (  2.1  )

   divergoert. Im Nenner hast du als

   " 4 * 4 * 4 * 4 ... "

   und im Zähler

   " 5 * 6 * 7 * ... * 4 711 * ... "

   Notwendig für die Konvergenz einer ===>  quotientenfolge ist, dass die Quotienten < = 1 sind.   Mit der Folge ( 2.1 ) kriegst du daher nie etwas Beschränktes.

   Diese Aufgabe sollte von Anfang an ein Gefühl dafür vermitteln,  dass x ( nicht n ! ) beschränkt ist .  Und ich habe einen Vorschlag unterbreitet, wie man ein solches x0 finden könnte.

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Mach mal Handstand und wackel mit den Fuessen. Dann rutscht vielleicht das Hirn wieder an seinen Platz.

Fuer jedes \(\pmb{n\in\mathbb{N}}\) ist \(\pmb{n!/4^n}\) eine obere Schranke von \(\pmb{M}\) -- und zwar per Definition von \(\pmb{M}\). Die kleinste von denen erhaelt man für \(\pmb{n=3}\) und \(\pmb{n=4}\), naemlich \(\pmb{3/32}\). Es ist demnach \(\pmb{M=(0,3/32)}\).