Eulersche Formel verwenden

Question

Hallöchen,

es wäre wirklich super toll, wenn ihr mir bei dieser Aufgabe behilflich sein könntet. :)))

cos(z) := sum from k=0 to ∞ ((−1)^k/(2k)! )z^2k

sin(z) := sum from k=0 to ∞ ((−1)^k/(2^{k + 1})!)z^2k+1

exp(z) := sum from k=0 to ∞ (1/k!) *z^k

1. Zeigen Sie die Eulersche Formel exp(iz) = cos(z) + isin(z) für beliebiges komplexes z .

2.Sei z := it mit einer reellen Zahl t. Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil von e^it.

Answer 1

"1. Zeigen Sie die Eulersche Formel exp(iz) = cos(z) + isin(z) für beliebiges komplexes z . "

Einfach das Obige in die exp(iz) = cos(z) + isin(z) einsetzen.

Answer 2

  Wie moderne Fjnktionenteoriebücher den Euler beweisen - z.B. Cartan.  Ich will dich jetzt nicht Sinn los zutexten:  aber schon mein Prof   verkündete mit aller größter Bestimmtheit, dass man da von diesen gefic kten Reihen endlich runter ist; das maxcht kein Mensch mehr so.

   ( Weil auf mich hört ja keiner. )

   Der moderne Denkansatz geht über den Begriff der ===> analytischen Fortsetzung; zur Not ginge es auch noch mit  DGL  .

  Potenzreihen haben den ganz empfindlichen Nachteil, dass du dir   VORHER ihren Konvergenzradius überlegen musst - mühsam ernährt sich das Eichhörnchen .