Zeige, dass lim (n→∞) 2^n/n! = 0

Question

Hi

 

Ich muss zeigen, dass lim 2ⁿ/n! = 0 ist.

Nun will ich 2*2*....*2/1*2*3*...*n umschreiben; (2/n)*....*(2/3)*(2/2)*(2/1) = (2/n)*....*(2/3)*2.

Ich will den Limes mit dem Einschnürungssatz beweisen. Also irgendwie;

0 = lim "untere Funktion" ≤ 2ⁿ/n! ≤ lim "obere Funktion" = 0

Ich weiss, dass ((2/n)*...*(2/4)) < 2/3 ist aber wie bringe ich dies nur in eine gültige Ungleichung ein?

 

Lg

Answer 1

Wenn mich nicht alles täuscht, könnte man hier das Quotientenkriterium anwenden:

Limes für n gegen Unendlich a_n+1/a_n = limes für n gegen Unendlich (2ⁿ⁺¹ *n!/((n + 1)!*2ⁿ)) =  limes für n gegen Unendlich (2ⁿ*2*n!/(n+1)*n!*2ⁿ)) = limes für n gegen Unendlich (2/(n+1)) und das geht gegen 0.

 

Hinweis: (n + 1)! = n!*(n+1)

Answer 2

0 < 2^n/n! = 2/1 · 2/2 · 2/3 · ... · 2/(n-1) · 2/n < 2/1 · 1 · 1 · ... · 1 · 2/n = 4/n

Damit ist dann

0 < 2^n/n! < 4/n

Somit hat 2^n/n! für n gegen unendlich den Grenzwert 0.