Konvergenzradius bestimmen

Question

Hallo:)

Ich weiß, dass der Konvergenzradius von cosh und sinh ∞ ist, aber ich muss das bei meiner Aufgabe zeigen und weiß nicht wie das geht.

Danke schon mal für eure Hilfe!

Answer 1

Ich würde das mit dem Quotientenkriterium zeigen, man kann aber beispielsweise auch das Wurzelkriterium benutzen oder mit der Formel von Cauchy-Hadamard den Konvergenzradius berechnen. Im Folgenden zeige ich dir, wie ich bei $\cosh$ zeigen würde, dass der Konvergenzradius $\infty$ ist.

$\cosh(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2 n}}{(2n)!}$

Für beliebiges $x\in \mathbb{C}\setminus\left\lbrace0\right\rbrace$ betrachte die Folge $\left(a_n(x)\right)_{n\in\mathbb{N}_0}$ der Summanden, so dass also $a_n(x) = \frac{x^{2 n}}{(2n)!}\ne0$ für alle $n\in\mathbb{N}_0$ ist. Dann ist $\left\lvert\frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)}\right\rvert = \left\lvert\frac{\quad \frac{x^{2 (n+1)}}{(2(n+1))!} \quad}{\quad \frac{x^{2 n}}{(2n)!} \quad}\right\rvert = \left\lvert\frac{x^{2n+2}\cdot(2n)!}{x^{2n}\cdot(2n+2)!}\right\rvert = \left\lvert\frac{x^{2}}{(2n+2)\cdot(2n+1)}\right\rvert = \left(\frac{1}{n}\right)^2\cdot\frac{{\left\lvert x\right\rvert}^2}{\left(2+2\cdot\frac{1}{n}\right)\cdot\left(2 + \frac{1}{n}\right)}\xrightarrow{n\to\infty}0^2\cdot\frac{{\left\lvert x\right\rvert}^2}{(2+2\cdot0)\cdot(2+0)} = 0 < 1\text{.}$

Nach Quotientenkriterium konvergiert demnach $\cosh(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2 n}}{(2n)!}$ für alle $x\in\mathbb{C}\setminus\left\lbrace0\right\rbrace$.

Offensichtlich konvergiert die Reihe auch für $x = 0$ (und hat dort den Wert $0$) ... $\cosh(0) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{0^{2 n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty}0 = 0$

Damit konvergiert $\cosh(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2 n}}{(2n)!}$ für alle $x\in\mathbb{C}$, weshalb der Konvergenzradius $\infty$ ist.

Comments

Ist nicht $\cosh(0)=1$?

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Sorry, ja da hast du natürlich recht. Ich habe nicht aufgepasst, dass hier ja $0^0 = 1\ne 0$ ist.

Für alle $x\in \mathbb{C}$ ist $\begin{aligned}\cosh(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2 n}}{(2n)!} \\&= \frac{x^{2\cdot 0}}{(2\cdot 0)!} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2 n}}{(2n)!} \\&= \frac{x^{0}}{0!} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2 n}}{(2n)!} \\&= \frac{1}{1} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2 n}}{(2n)!} \\&= 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2 n}}{(2n)!}\text{.}\end{aligned}$

Demnach erhält man:

$\begin{aligned}\cosh(0) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{0^{2 n}}{(2n)!} \\&= 1+ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{0^{2 n}}{(2n)!}\\&= 1+ \sum_{n=1}^{\infty}0\\&= 1+0 = 1\end{aligned}$