Bei i) und ii) deutet das z auch auf komplexe Zahlen hin.
Vermutlich hattet ihr ( etwa analog zu
https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius )
mal sowas wie \( r=\lim\limits_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}} |\)
Bei i) musst du also betrachten \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \) Betrag spielt hier keine
Rolle, da nichts negativ ist, also \( \frac{\begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} n+1\\2 \end{pmatrix} } = \frac{ \frac{n(n-1)}{2} }{ \frac{n(n+1)}{2} } = \frac{n}{n+1} \)
Für n→∞ geht das gegen 1, also r=1. D.h.: Für alle z∈ℂ innerhalb des Kreises um 0+0i mit Radius 1 konvergiert die Potenzreihe .
Gehe mal bei ii) entsprechend vor, ich komme auf r=∞.
Die Potenzreihe konvergiert also für alle z∈ℂ.
iii) Hier geht es wohl besser mit \( r=\frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} } \)
Also betrachte erst mal \( \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{| \frac{2+i^n}{(3+i)^n} |} = \sqrt[n]{ \frac{|2+i^n|}{|(3+i)^n|} } = \frac{\sqrt[n]{|2+i^n|}}{{\sqrt[n]{|(3+i)^n}| } } \)
\(= \frac{\sqrt[n]{|2+i^n|}}{|3+i|} \)
Der Zähler ist immer abwechseln die n-te Wurzel aus 1 oder aus 3, der Grenzwert
für n gegen unendlich also 1 und der Nenner ist konstant = 10.
Also \( r=\frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} } = 10 \).
