Bestimmen Sie den Konvergenzradius dieser 3 reihen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius folgender Potenzreihen

i) $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{}$ $\begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix}$zⁿ

ii) $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{}$$\frac{(n+1)^3}{n!}$zⁿ

iii) $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{}$$\frac{2+i^n}{(3+i)^n}$zⁿ

Problem/Ansatz:

Was genau ist mit Konvergenzradius gemeint und wie ermittel ich den? (vorallem bei iii mit den komplexen Zahlen?)

Comments

Was genau ist mit Konvergenzradius gemeint und wie ermittel ich den?

Wirf mal einen Blick in deine Unterlagen und gewöhne dir in Zukunft an, direkt damit zu arbeiten.

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ich kann mit den Formeln im Skript recht wenig anfangen und hab im Internet auch keine gute erklärung gefunden wie genau ich das berechne und auch notiere. deshalb frag ich hier :(

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Wenn man mit sowas Probleme hat, sollte man unbedingt daran arbeiten. Mathematische Notationen verstehen und sonst auch ruhig mal Fachliteratur konsumieren!

Answer 1

Bei i) und ii) deutet das z auch auf komplexe Zahlen hin.

Vermutlich hattet ihr ( etwa analog zu

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konver… )

mal sowas wie $r=\lim\limits_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}} |$

Bei i) musst du also betrachten  $\frac{a_n}{a_{n+1}}$  Betrag spielt hier keine

Rolle, da nichts negativ ist, also   $\frac{\begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} n+1\\2 \end{pmatrix} } = \frac{ \frac{n(n-1)}{2} }{ \frac{n(n+1)}{2} } = \frac{n}{n+1}$

Für n→∞ geht das gegen 1, also r=1. D.h.: Für alle z∈ℂ innerhalb des Kreises um 0+0i mit Radius 1 konvergiert die Potenzreihe .

Gehe mal bei ii) entsprechend vor, ich komme auf r=∞.

Die Potenzreihe konvergiert also für alle z∈ℂ.

iii)  Hier geht es wohl besser mit $r=\frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} }$

Also betrachte erst mal $\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{| \frac{2+i^n}{(3+i)^n} |} = \sqrt[n]{ \frac{|2+i^n|}{|(3+i)^n|} } = \frac{\sqrt[n]{|2+i^n|}}{{\sqrt[n]{|(3+i)^n}| } }$

$= \frac{\sqrt[n]{|2+i^n|}}{|3+i|}$

Der Zähler ist immer abwechseln die n-te Wurzel aus 1 oder aus 3, der Grenzwert

für n gegen unendlich also 1 und der Nenner ist konstant = 10.

Also $r=\frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} } = 10$.

Comments

Tatsächlich sagt mir das nichts, hab es mal bei ii) gemacht komme dann auf r= lim $\frac{n^4...}{n^3....}$ was natürlich dann r=∞ ergibt. ich versuchs jezt bei iii) danke schonmal :)

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r=∞ ist doch OK. Bei iii) hab ich noch was ergänzt.