Aufgabe zu differenzierbaren Funktionen

Question

1. Zeige, dass eine differenzierbare Funktion f : [a, b] → R, die überall eine positive 
Ableitung hat, streng monoton steigend ist.
2. Stimmt das auch für die Umkehrung, d.h. hat eine streng monoton steigende differenzierbare Funktion überall 
eine positive Ableitung?
Hinweis zu 1.: Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Comments

Zu (2) wähle f(x) = x³.

Answer 1

  Hier das istr voll witzig, das über den MWS zu zeigen. Da wäre ich gar nicht drauf gekommen. Übrigens; Knollen an deinen Prof. Voraussetzung muss sein, dass der Definitionsbereich ein Intervall ist; überleg dir mal ein Gegenbeispiel. Nach dem MWS existiert zu a ; b ein Mittelwert x0

   (E) x0  =  x0  (  a  ;  b  )   |  f  (  b  )  -  f  (  a  )  =  (  b  -  a  )  f  '  (  x0  )       (  1  )

       Wir haben a < b  ; und die Ableitung wurde als positiv voraus gesetzt  ===>  f ( a ) < f ( b ) wzbw

    Zur Umkehrung gibt es übrigens ein spannendes Statement:

   Eine auf einem Intervall streng monoton wachsende Funktion ist dort ===>  fast überall ( f.ü. )  differenzierbar mit f ' ( x ) > 0  .

   Dies hat eine bemerkenswerte Konsequenz. Aus der Differenzierbarkeit folgt Punkt weise Stetigkeit - aber nicht umgekehrt.   So gibt es patologische Funktionen wie die ( elementar konstruierbare )  ===>  Kochsche Schneeflockenkurve ( KSK )  , ein ===>  Fraktal, das auf ganz |R stetig ist, ohne deshalb auch nur in einem Punkt differenzierbar zu sein.

   Auf keinem noch so kleinen Intervall kann die Kochkurve - entgegen jeder Anschauung - monoton verlaufen, weil sie ja nirgends differenzierbar ist.  Ihre LOKALEN EXTREMATA LIEGEN DICHT .

Comments

Voraussetzung muss sein, dass der Definitionsbereich ein Intervall ist

Ist das hier nicht der Fall?

f ( a ) < f ( b ) wzbw

Das reicht wohl nicht.

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  Zugegeben . Ich habe wieder mal das klein Gedruckte überlesen.

   Natürlich steht da, dass es ein Intervall sein muss.

   Schon in Kl. 1 rügte meine Mammi, dass ich als "einziger ( !!! )  immer unaufmerksam sei, während die anderen ihre Hausaufgaben immer vollständig " hätten ...

   A Propos das klein Gedruckte - erinnerst du dich noch an das Comic " Schweinchen Dick "  aus den 60_ern, das seiner Zeit wahre Proteststürme von Zuschauerpost entzündete? In einer Folge tritt ein böser kichernder Versicherungsagent auf

   " Unterschreiben Sie folgende Versicherungspolice: Der Versicherungsfall tritt ein, wenn Ihre Behausung von einer Herde Büffel + einem einzelnen Zebra über den Haufen gerannt wird; hihi ... "

    Und die Büffel kommen; kein Stein steht mehr aauf dem anderen. Doch der Agent

  " Sie haben ausdrücklich unterschrieben: und ein einzelnes Zebra; hihi ... "

    Da rast ein fröhlich wieherndes einzelnes Zebra durch die Bildfläche

    "  Oh ich bin ruiniert ... "

    Aber was ich dann überhaupt nicht mehr verstehe: Wieso soll nicht reichen, wenn ich zeige f ( a )  <  f  (  b  )  ?