Bestimmen Sie alle auf (a, b) differenzierbaren Funktionen, die f'= f erfüllen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle auf (a, b) differenzierbaren Funktionen, die f'= f erfüllen.

Answer 1

Ist \(f:(a,b)\to \mathbb{R}\) mit \(f'=f\), dann ist

        \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}}=\frac{f'(x)\mathrm{e}^{x}-f(x)\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}}=\frac{f(x)\mathrm{e}^{x}-f(x)\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}}=0\),

also ist \(\frac{f}{\mathrm{e}^x}\) konstant.

Answer 2

Es ist \(f'/f=1\), also \(\ln(f(x))=x+C\). Mit \(c=e^C\) folgt

\(f(x)=e^{x+C}=ce^x\).