Beweis von differenzierbaren Funktionen und ihren Lösungen

Question

Aufgabe:

Seien α,β,γ,δ >0 und g,h: (0,∞)→ℝ und f: (0,∞)²→ℝ  geben durch g(y):= α lny -βy, h(x):= γ lnx- δx, f(x,y):= g(y)+h(x) für x,y>0.

Gezeigt werden soll:

(i) Wenn ∅≠ I⊂ℝ ein Intervall ist und wenn x,y: I→ℝ differenzierbar sind mit x' = αx -βxy; y' = -γy + δxy, dann ist die Funktion definiert durch c : I→ℝ , c(t) := f(x(t), y(t)) konstant.

(ii) g und h haben beide ein Maximum m_g bzw. m_h, und mit m := m_g +m_h gilt:
     (a) m < c ⇒ f(x, y) = c hat keine Lösung.
     (b) m = c ⇒ f(x, y) = c hat genau eine Lösung.
     (c) m > c ⇒ Es gibt eindeutige x₁ ∈ (0, γ/δ ) und x₂ ∈ ( γ/δ, ∞) mit h(x₁) = h(x₂) = c - m_g und h(γ/δ) ≠ c - m_g

          Darüber hinaus:
          (1) x₀ ∈ (0, x₁) ∪ (x₂, ∞) ⇒ f(x₀, y) = c hat keine Lösung.
          (2) x₀ ∈ {x₁; x₂} ⇒ f(x₀, y) = c hat genau eine Lösung.
          (3) x0 ∈ {x1; x2} ⇒ Es gibt eindeutige y₁ ∈ (0,α/β ) und y₂ ∈ (α/β, ∞) mit f(x₀, y₁) = f(x₀, y₂) = c und f(x₀, α/β ) ≠ c.

Ich habe absolut keine Ahnung, wie ich auch nur eine der Teilaufgaben beweisen soll.

Ich bin über jede Hilfe sehr dankbar.

Comments

Was meinst Du mit \( f(x,y) = c \) hat keine Lösung. Ich denke \( c(t) = f(x(t),y(t)) \)